[논문 리뷰] Twisting the Stern sequence

Roland Bacher|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 31.

semigroups and automata theory참고 문헌 10인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 부호가 붙은 재귀 관계로 정의된 고전적 슈테른 수열의 변종인 비틀린 슈테른 수열을 도입하고 분석한다. 기능적 항등식, 팰린드롬 다항식 인수분해, 생성함수를 통해 원래 수열과 비틀린 수열 간의 깊은 연관성을 규명하며, 행렬 행렬식과 기능적 방정식을 통해 관련 생성함수의 $k$-정규성을 증명한다.

ABSTRACT

We describe a few features of the Stern sequence and of a closely related sequence obtained by adding a sign-twist in the recursive definition of the Stern sequence. 1 Main results In this paper, we identify a complex sequence (an)n∈N with the corresponding function a : N 7−→ C. We write thus always a(n) instead of an. The Stern sequence or Stern-Brocot sequence with first terms given by 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, . . . (cf. sequence A2487 of [9]) is the integral sequence s : N −→ N recursively defined by s(0) = 0, s(1) = 1 and s(2n) = s(n), s(2n + 1) = s(n) + s(n + 1) for n ≥ 1. It is closely related to the Farey tree and induces a one-to-one map n 7−→ s(n)/s(n+ 1) between N and non-negative rational numbers, cf. [5] or Chapter 16 of [1]. It is also an example of a 2−regular sequence, see Chapter 16 of [2]. The following result gives a different, perhaps not very well-known, description of the Stern sequence. Proposition 1.1 s(n) equals the number of distinct subsequences of the form 1, 101, 10101, . . . = {1(01)} in the binary expansion ǫl . . . ǫ1ǫ0 of n = ∑l k=0 ǫl2 k (where ǫ0, . . . , ǫl ∈ {0, 1}). Proposition 1.1 is in fact a particular case of Proposition 2.3, an easy result concerning rational series in non-commuting variables. Example The binary expansion 1011 of 11 = 23 + 21 + 20 contains the following five subsequences (highlighted by bold letters) 1011 , 1011 , 1011,1011 ,1011

연구 동기 및 목표

• 고전적 슈테른 수열의 재귀 정의에 부호를 도입하여 얻어진 새로운 수열인 비틀린 슈테른 수열을 정의하고 연구한다.
• 슈테른 수열과 그 비틀린 형태 간의 구조적 유사성과 기능적 항등식을 탐구한다.
• 비틀린 수열에서 유도된 팰린드롬 다항식의 인수분해를 확립하여 자기유사 패턴을 드러낸다.
• 기능적 방정식을 통해 비틀린 수열의 생성함수의 로그 미분의 $k$-정규성을 증명한다.
• 비틀린 수열의 생성함수의 영점 분포를 복소 단위 원판 내에서 조사한다.

제안 방법

• 초기 값 $ t(0) = 0 $, $ t(1) = 1 $를 갖는 재귀식 $ t(2n) = -t(n) $, $ t(2n+1) = -t(n) - t(n+1) $을 통해 비틀린 슈테른 수열을 정의한다.
• 생성함수와 기능적 방정식을 사용하여 비틀린 수열의 구조를 분석하며, 특히 항등식 $ \sum t(3\cdot 2^e + n)z^n = (-1)^e \left( \sum u(n)z^{n\cdot 2^e} \right) \left( \sum s(m)z^m \right) $ 를 활용한다.
• 다항식 $ \psi_e = (-1)^e \sum_{n=0}^{3\cdot 2^e} t(3\cdot 2^e + n) z^n $ 가 $ z(1+z^{2^e}) \prod_{n=0}^{e-1} (1+z^{2^n}+z^{2^{n+1}}) $ 로 인수분해됨을 증명하여 자기유사한 구조를 드러낸다.
• 연속된 슈테른 수열과 비틀린 수열의 항들로 구성된 행렬의 행렬식을 분석하여, 짝수 $ n $ 에 대해 $ \det(M(n)) = -\det(M(n/2)) $ 와 같은 항등식을 도출하고, 혼합 수열에 대해서도 유사한 항등식을 제시한다.
• 생성함수 $ A(z) $ 의 로그 미분이 $ B(z) = \frac{P'(z)}{P(z)} + kz^{k-1}B(z^k) $ 를 만족함을 보여, $ P(z) $ 가 순환다항식 유사 항목들의 곱임을 이용하여 $ A(z) $ 의 로그 미분의 $k$-정규성을 확립한다.
• 귀납법과 재귀적 대입을 통해 $ s(n-1) + s(n+1) $ 와 $ t(n-1) + t(n+1) $ 를 포함하는 항등식을 증명하며, 이를 2진법 상의 값 $ v_2(n) $ 와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 슈테른 수열과 그 비틀린 형태 간의 기능적 항등식은 그 재귀적 구조에 숨겨진 대칭성을 어떻게 반영하는가?
• RQ2 비틀린 수열에서 유도된 팰린드롬 다항식의 대수적 구조는 무엇이며, 어떻게 인수분해되는가?
• RQ3 비틀린 슈테른 수열의 생성함수는 열린 단위 원판 내에 무한히 많은 영점을 가지는가? 이는 고전적 슈테른 수열과 어떻게 대비되는가?
• RQ4 비틀린 수열의 생성함수의 로그 미분이 $k$-정규가 되는 조건은 무엇이며, 이는 수열의 산술적 구조에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 스튜어트 수열과 비틀린 수열의 연속된 항들로 이루어진 행렬의 행렬식은 2의 거듭제곱으로 스케일링될 때 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 비틀린 슈테른 수열은 $ 0 \leq n \leq 2^e $ 에 대해 항등식 $ t(2^e + n) = (-1)^e (s(2^e - n) - s(n)) $ 를 만족하며, 이는 고전적 슈테른 수열과 직접 연결된다.
• 구간 $ 0 \leq n \leq 3\cdot 2^e $ 에서의 유한 수열 $ (-1)^e t(3\cdot 2^e + n) $ 는 팰린드롬이며, $ z(1+z^{2^e}) \prod_{n=0}^{e-1} (1+z^{2^n}+z^{2^{n+1}}) $ 로 인수분해되며, 자기유사한 구조를 드러낸다.
• 고전적 슈테른 수열의 생성함수는 $ \sum s(n)z^n = z \prod_{n=0}^\infty (1+z^{2^n}+z^{2^{n+1}}) $ 를 만족하며, 이 결과는 비틀린 수열의 다항식 인수분해를 통해 재확인된다.
• 비틀린 슈테른 수열의 생성함수는 고전적 슈테른 수열과 달리 열린 단위 원판 내에 무한히 많은 비영인 근을 가진다.
• 비틀린 수열의 생성함수의 로그 미분이 $k$-정규가 되는 것은 그 기능적 방정식에 등장하는 다항식 $ P(z) $ 가 모든 근을 단위근으로 가져야만 한다는 조건과 동치이다.
• 행렬 $ M(n) = \begin{pmatrix} s(n) & s(n+1) \\ t(n) & t(n+1) \end{pmatrix} $ 의 행렬식은 $ \det(M(2n)) = -\det(M(n)) $ 과 $ \det(M(2n-1)) = -\det(M(n-1)) $ 를 만족하며, 이는 재귀적인 부호 패턴을 보여준다.