[논문 리뷰] Twists of Drinfeld-Stuhler modular varieties

Michael Spieß|ArXiv.org|2007. 01. 20.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 9인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 전역 함수체 위의 서로 다른 중심 단순 대수에 대응하는 Drinfeld-Stuhler 모듈라 곡면이 상호간에 틈새를 이루고 있음을 증명하며, 양의 특성으로의 Shimura 곡선에 대한 Cherednik-Drinfeld 정리의 일반화를 제시한다. 이는 이중 모듈로 틈새를 통한 ${\cal A}$-타원곡선층의 모듈리 공간 간에 명시적인 동형사상을 구성함으로써, 적절한 확장으로의 기저 변경 이후 기하학적으로 동형임을 보여주며, 이로써 이들의 모듈리 이론적 기술을 통합한다.

ABSTRACT

Let $\cal A$ be a maximal (or more generally a hereditary) order in a central simple algebra over a global field $F$ of positive characteristic. We study the reduction of the modular scheme of $\cal A$-elliptic sheaves at all places of $F$. We show that some of these varieties - for different $\cal A$ - are twists of each other. This result can be viewed as a global analogue of the Cherednik-Drinfeld theorem for these varieties.

연구 동기 및 목표

• 전역 함수체 위의 Drinfeld-Stuhler 모듈라 곡면을 연구하여, Shimura 곡선에 대한 Cherednik-Drinfeld 정리를 양의 특성으로 일반화하는 것.
• 전역 함수체 위의 서로 다른 중심 단순 대수 $A$에 대한 ${\cal A}$-타원곡선층의 모듈리 공간 간의 기하학적 관계를 이해하는 것.
• 이러한 모듈리 공간들이 명시적인 이중 모듈로 구성에 의해 상호간에 틈새를 이룬다는 것을 확립하는 것.
• 부드러운 지역을 초월하여, 분기되고 비분해 가능한 위치를 포함한 Drinfeld-Stuhler 곡면의 모듈리 이론적 기술을 확장하는 것.
• 편태수 순서와 프로베누스 구조를 사용하여 ${\cal A}$-타원곡선층의 모듈리에 대한 통일된 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 전역 함수체 $F$ 위의 중심 단순 대수 $A$에 대한 편태수 순서 ${\cal A}$를 사용하여 고정된 위치 $\infty$에서 극을 가진 ${\cal A}$-타원곡선층을 정의한다.
• 레벨-$I$ 구조를 가진 ${\cal A}$-타원곡선층의 모듈리 공간 $\operatorname{Ell}^\infty_{{\cal A},I}$를 정의하며, 이들이 $X - I$ 위에서 상대 차원 $d-1$을 가지는 준안정 준구성적 스킴임을 보인다.
• 호환 조건을 만족하는 프로베누스와 국소 불변량과 관련된 ${\cal A}$-$A'$-이중 모듈로 $\{ {\cal I}_i \}$ 및 그 쌍대 $\{ {\cal J}_i \}$를 구성한다.
• 다른 대수에 대한 모듈리 공간을 연결하기 위해 틈새 함자 $\cdot \otimes_{{\cal A}} {\cal I}_\star$ 와 $\cdot \otimes_{{\cal A}'} {\cal J}_\star$ 를 적용한다.
• 이 함자들이 $X - |\operatorname{\underline{Disc}}({\cal A}')|$ 위에서 $\operatorname{Ell}^\infty_{{\cal A},I}$ 와 $\operatorname{Ell}^\infty_{{\cal A}',I}$ 간에 상호 역인 동형사상을 유도함을 증명하며, 틈새 관계를 확립한다.
• 분해수 $\deg(\infty) > 1$ 인 경우를 위해 $k(\infty)$-값의 구조와 프로베누스 틈새를 사용하여 구성의 확장을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수체 위의 서로 다른 중심 단순 대수에 대응하는 Drinfeld-Stuhler 모듈라 곡면은 기하학적으로 관련되어 있는가?
• RQ2 모듈리의 ${\cal A}$-타원곡선층을 통해 Shimura 곡선에 대한 Cherednik-Drinfeld 정리를 양의 특성으로 일반화할 수 있는가?
• RQ3 ${\cal A}$-타원곡선층의 모듈리 공간들이 상호간에 틈새를 이룰 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ4 국소 불변량과 편태수 순서는 이러한 곡면의 모듈리 이론적 구성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 이중 모듈로 기반의 동형사상을 통해 분기된 위치를 포함한 모듈리 공간을 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 모듈리 공간 $\operatorname{Ell}^\infty_{{\cal A},I}$ 는 $X - I$ 위에서 상대 차원 $d-1$을 가지는 준안정 준구성적 스킴이며, 이는 이전 결과를 전체 기저로 확장한다.
• 국소 불변량이 위치 $\mathfrak{p}$ 와 $\infty$ 에서 $\frac{1}{d}$ 차이를 보이는 두 중심 단순 대수 $A$ 와 $A'$ 에 대해, 해당하는 모듈리 공간들은 상호간에 틈새를 이룬다.
• 이 틈새는 $ {\cal A}(\frac{1}{d}\infty_i) \otimes_{{\cal A}} {\cal I}_i = {\cal I}_{i+1} $ 를 만족하는 이중 모듈로 $\{ {\cal I}_i \}$ 를 통해 실현되며, 프로베누스 작용과 호환된다.
• 모듈리 공간 간의 동형사이는 함자 $E \mapsto E \otimes_{{\cal A}} {\cal I}_\star$ 로 주어지며, 이는 $X - |\operatorname{\underline{Disc}}({\cal A}')|$ 위에서 기하학적 동형사상을 유도한다.
• 역 동형사는 $E' \mapsto (E' \otimes_{{\cal A}'} {\cal J}_\star)_{d-1}$ 로 주어지며, 이는 틈새가 카테고리의 동치임을 보여준다.
• 분해수 $\deg(\infty) > 1$ 인 경우에도 $k(\infty)$-값의 구조와 프로베누스 이동을 사용하여 구성의 확장을 수행하며, 이로 인해 동형성 조건이 유지된다.