[논문 리뷰] Two boundary Hecke Algebras and combinatorics of type C

Zajj Daugherty, Arun Ram|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 26.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 22인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비등가 파arameter를 가진 C 유형의 확장된 아핀 히브의 대칭군 $U_q\mathfrak{gl}_n$ 사이의 슈어-베일러 이중성을 수립하며, 다항식 표현의 텐서곱을 통해 후자의 기약 표현을 실현한다. 주요 기여는 비대칭 국소 영역과 표준 표기법을 사용한 기약 캘리브레이티드 표현의 완전한 분류이며, 표기법 경로의 내용과 조합론에 기반한 생성자 작용에 대한 명시적 공식을 제공한다.

ABSTRACT

This paper gives a Schur-Weyl duality approach to the representation theory of the affine Hecke algebras of type C with unequal parameters. The first step is to realize the affine braid group of type $C_k$ as the group of braids on $k$ strands with two poles. Generalizing familiar methods from the one pole (type A) case, this provides commuting actions of the quantum group $U_q\mathfrak{g}$ and the affine braid group of type $C_k$ on a tensor space $M\otimes N \otimes V^{\otimes k}$. Special cases provide Schur-Weyl pairings between the affine Hecke algebra of type $C_k$ and the quantum group of type $\mathfrak{gl}_n$, resulting in natural labelings of many representations of the affine Hecke algebras of type C by partitions. Following an analysis of the structure of weights of affine Hecke algebra representations (extending the one parameter case to the three parameter case necessary for affine Hecke algebras of type C), we provide an explicit identification of the affine Hecke algebra representations that appear in tensor space (essentially by identifying their Langlands parameters).

연구 동기 및 목표

• 비등가 파arameter를 가진 C 유형 아핀 히브 대칭군에 대한 슈어-베일러 이중성 프레임워크를 개발하여 잘 알려진 A 유형의 경우를 확장한다.
• 텐서 공간 위에서의 양자군 작용을 이용하여 확장된 아핀 히브 대칭군 $H^\text{ext}_k$의 기약 캘리브레이티드 모듈의 표현 이론적 분류를 제공한다.
• 등가 파aram터의 경우에서의 무게와 상호연결 조합론을 C 유형에 필요한 세 파aram터 설정으로 일반화한다.
• 텐서 공간 $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ 안에 포함된 $H^\text{ext}_k$의 기약 표현들이 무엇인지 명시적으로 규명하며, $U_q\mathfrak{gl}_n$의 최고 무게 이론과 히브 대칭군 표현 이론을 연결한다.
• 표준 표기법 경로로 색인된 기약 $H^\text{ext}_k$-모듈의 기저를 구성하고, 경로에 의존하는 고유값과 구조 상수에 기반한 생성자 작용에 대한 명시적 공식을 제시한다.

제안 방법

• C 유형의 아핀 브레인 군을 $k$개의 실선과 두 개의 극점이 있는 브레인으로 표현하여, 텐서 공간 $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ 위에서의 브레인 군 작용을 가능하게 한다.
• 파라미터 $t^{1/2} = q$, $t_0^{1/2} = -iq^{b+d}$, $t_k^{1/2} = -iq^{a+c}$를 갖는 확장된 아핀 히브 대칭군 $H^\text{ext}_k$를 정의하며, 양자군 작용과의 호환성을 확보한다.
• 텐서 공간 $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ 위에서 $U_q\mathfrak{gl}_n$와 $H^\text{ext}_k$의 교환 작용을 이용해 슈어-베일러 이중성을 수립한다. 여기서 $M = L((a^c))$, $N = L((b^d))$, $V = \mathbb{C}^n$이다.
• 비대칭 국소 영역과 표준 표기법 경로 $S \in \mathcal{T}_k^\lambda$를 사용하여 기약 캘리브레이티드 $H^\text{ext}_k$-모듈을 분류하며, 경로와 기저 벡터 사이의 전단사 사상 활용.
• 생성자 $T_i$, $Y_1$, $X_1$, $P$의 기저 벡터 $v_S$ 위에서의 작용에 대해 명시적 공식 유도. 고유값은 내용 차이 $c(S(i)/S(i-1))$와 경로 존재 여부에 의존.
• 아핀 브레인 및 히브 대칭군의 코克斯터 및 버니스타인 표현을 사용하여 파라미터 변환을 연결하고 중심자 대칭군의 구조를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비등가 파라미터를 가진 C 유형의 확장된 아핀 히브 대칭군 $H^\text{ext}_k$의 기약 표현 중에서 텐서 공간 $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ 안에 포함되는 것은 무엇인가?
• RQ2 슈어-베일러 이중성을 통해 $U_q\mathfrak{gl}_n$의 최고 무게 이론으로부터 $H^\text{ext}_k$의 표현 이론을 어떻게 유도할 수 있는가?
• RQ3 특히 세 파라미터 설정에서 $H^\text{ext}_k$-모듈의 무게의 정확한 조합론적 구조는 무엇인가?
• RQ4 표준 표기법과 분할에 의해 색인된 $H^\text{ext}_k$-모듈의 중심자와 랭글랜즈 파라미터는 어떻게 관련되는가?
• RQ5 생성자 $T_i$, $Y_1$, $X_1$, $P$가 표준 표기법 경로 $S$로 색인된 기저 위에서 어떻게 작용하는가?

주요 결과

• 텐서 공간 $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ 안에 포함되는 기약 $H^\text{ext}_k$-모듈 $B^\lambda_k$는 분할 $\lambda \in \mathcal{P}(k)$와 이분사적 대응 관계를 가지며, 적절한 $z$와 $c$에 대해 $B^\lambda_k \cong H(z,c,\emptyset)_k$이다.
• 기저 벡터 $v_S$ 위에서 다항식 생성자 $P$의 작용은 $P v_S = q^{2e_0(T)} v_S$로 주어지며, 여기서 $e_0(T)$는 경로에서 처음으로 추가된 상자의 내용이다.
• 기저 벡터 $v_S$ 위에서 $T_i$의 작용은 $T_i v_S = [T_i]_{S,S} v_S + \sqrt{([T_i]_{S,S} - q)([T_i]_{S,S} + q^{-1})} v_{s_i S}$이며, $[T_i]_{S,S} = \frac{q - q^{-1}}{1 - q^{2(c(S(i)/S(i-1)) - c(S(i+1)/S(i)))}}$이다.
• 기저 벡터 $v_S$ 위에서 $Y_1$의 작용은 $Y_1 v_S = [Y_1]_{S,S} v_S + \sqrt{([Y_1]_{S,S} - q^{-2d})([Y_1]_{S,S} - q^{2b})} v_{s_0 S}$이며, $[Y_1]_{S,S}$는 $q$, $a$, $b$, $c$, $d$, $c(S(1)/S(0))$에 대한 유리함수이다.
• 기저 벡터 $v_S$ 위에서 $X_1$의 작용은 $X_1 v_S = [X_1]_{S,S} v_S + q^{-2c(S(1)/S(0))} q^{a-c+b-d} \sqrt{([X_1]_{S,S} - q^{2a})([X_1]_{S,S} - q^{-2c})} v_{s_0 S}$이며, $[X_1]_{S,S}$는 동일한 파라미터를 포함하는 유리함수로 정의된다.
• 만일 $\lambda(k) \neq \mu(k)$이면, $a=c=6$, $b=d=4$, $k=1$, $\lambda(k)=(12,10,8,8,6,6,5,3,3,1)$, $\mu(k)=(12,9,9,8,7,6,4,3,2,2)$일 때 $B^{\lambda(k)}_k \cong B^{\mu(k)}_k \cong H(z,c,\emptyset)_k$가 되는 것이 가능하여, 특정 파라미터 조건 하에서 분할 색인의 유일성에 대한 비유일성을 보여준다.