[논문 리뷰] Two classes of hyperbolic surfaces in P^3

Bernard Shiffman, Mikhail Zaidenberg|ArXiv.org|1998. 11. 25.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고도수 3차원 복소 프로젝티브 공간 (P^3) 내에서, 고도수 g ≥ 2 및 g ≥ 3 곡선이 고차원 프로젝티브 공간에 부드럽게 매장된 대칭 제곱과 카르테시안 제곱의 일반적 사영을 통해 두 종류의 특이 코바야시 초구면을 구성한다. 첫 번째 종류는 C-초구면 정규화를 가지며, degree-32의 예를 제공한다. 두 번째 종류는 최소 degree 16를 가지지만, 그 정규화는 C-초구면이 아니며, 대수적 초구면에서의 초구면성에 대한 이해를 발전시킨다.

ABSTRACT

We construct two classes of singular Kobayashi hyperbolic surfaces in $P^3$. The first consists of generic projections of the cartesian square $V = C imes C$ of a generic genus $g \ge 2$ curve $C$ smoothly embedded in $P^5$. These surfaces have C-hyperbolic normalizations; we give some lower bounds for their degrees and provide an example of degree 32. The second class of examples of hyperbolic surfaces in $P^3$ is provided by generic projections of the symmetric square $V' = C_2$ of a generic genus $g \ge 3$ curve $C$. The minimal degree of these surfaces is 16, but this time the normalizations are not C-hyperbolic.

연구 동기 및 목표

• P^3 내에서 통제된 특이성을 가진 코바야시 초구면 표면의 새로운 예를 구성하기 위해.
• 곡선의 대칭 제곱과 카르테시안 제곱을 사영하여 얻은 표면의 정규화의 초구면 성질을 조사하기 위해.
• 이러한 초구면 표면의 최소 degree를 결정하고 하한을 설정하기 위해.
• 사영된 표면의 맥락에서 C-초구면과 비-C-초구면 정규화의 차이를 탐구하기 위해.
• 복소 프로젝티브 3차원 공간 내 초구면 대수적 표면의 분류에 기여하기 위해.

제안 방법

• P^5에 부드럽게 매장된 일반적 고도수 g ≥ 2 곡선 C의 카르테시안 제곱 $ C \times C $를 일반적 사영을 통해 $ \mathbb{P}^3 $로 사영하여 특이 초구면 표면을 얻는다.
• 기하학적 및代수기하학적 기법을 사용하여 사영된 표면의 정규화가 C-초구면인지 여부를 분석한다.
• P^5에 매장된 일반적 고도수 g ≥ 3 곡선 C의 대칭 제곱 $ C_2 $를 일반적 사영을 통해 $ \mathbb{P}^3 $로 사영한다.
• 교차 이론과 매장 조건을 사용하여 결과 표면의 degree에 하한을 설정한다.
• 특히 초구면성과 코바야시 메트릭과 관련된 기법을 포함한 대수기하학과 복소해석학의 기법을 사용한다.
• 일반적 사영이 특정 조건 하에서 초구면성을 유지한다는 사실을 이용하고, 사영에 의해 유도된 특이성을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 g ≥ 2 고도수 곡선의 카르테시안 제곱의 일반적 사영으로 얻어진 P^3 내 코바야시 초구면 표면의 최소 degree는 무엇인가?
• RQ2 g ≥ 3 고도수 곡선의 대칭 제곱에서 유도된 사영 표면의 정규화가 C-초구면일 수 있는가? 만약 불가능하면 그 이유는 무엇인가?
• RQ3 P^3 내에서 곡선 제곱의 일반적 사영이 초구면 표면을 유도하는 기하학적 및 코homological 조건은 무엇인가?
• RQ4 정규화의 초구면 성질은 원래 곡선의 위상수학적 성질과 고도수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 이러한 사영 방법을 통해 구성된 이러한 초구면 표면의 degree에 대한 날카운 하한은 무엇인가?

주요 결과

• g ≥ 2인 경우 $ C \times C $의 일반적 사영으로 유도된 첫 번째 종류의 표면은 C-초구면 정규화를 가진다.
• 첫 번째 종류의 표면 중 degree 32인 명시적 예가 구성된다.
• g ≥ 3인 경우 $ C_2 $로부터 유도된 두 번째 종류의 표면의 최소 degree는 16이다.
• 두 번째 종류의 표면의 정규화는 표면이 코바야시 초구면임에도 불구하고 C-초구면이 아니다.
• 논문은 원래 곡선의 고도수와 매장 차원에 기반하여 사영된 표면의 degree에 하한을 설정한다.
• 이 구성은 정규화가 C-초구면이 아니더라도 초구면성이 일반적 사영 하에서도 유지될 수 있음을 보여준다.