[논문 리뷰] Two Conjectures on Gauge Theories, Gravity, and Infinite Dimensional Kac-Moody Groups

Ori Ganor|ArXiv.org|1999. 03. 12.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 71인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 무한차원 코셋 다양체 𝔈₁₀(ℤ)\𝔈₁₀(ℝ)/K 위에 정의된 주 generating 함수 Ξ(ξ)를 제안하며, 이는 토러스에 컴actified된 양-밀스 이론과 리틀-스트링 이론의 분할 함수를 암시한다. 기하학적 및 U-duality 토크스를 이 공간에 통합하고, 조화 함수를 통해 순간자 기여를 해석함으로써, 이 작업은 Ξ가 decompactification 한계에서 경계 조건이 0이 되는 유일한 조화 함수임을 추측하며, 무한차원 Kac-Moody 대칭성을 통해 토러스 위의 게이지 이론, 중력 이론, M-이론을 통합한다.

ABSTRACT

We propose that the structure of gauge theories, the $(2,0)$ and little-string theories is encoded in a unique function on the real group manifold $E_{10}(R)$. The function is invariant under the maximal compact subgroup $K$ acting on the right and under the discrete U-duality subgroup $E_{10}(Z)$ on the left. The manifold $E_{10}(Z)\backslash E_{10}(R) /K$ contains an infinite number of periodic variables. The partition function of U(n), N=4 Super-Yang-Mills theory on $T^4$, with generic SO(6) R-symmetry twists, for example, is derived from the $n^{th}$ coefficient of the Fourier transform of the function with respect to appropriate periodic variables, setting other variables to the R-symmetry twists and the radii of $T^4$. In particular, the partition function of nonsupersymmetric Yang-Mills theory is a special case, obtained from the twisted $(2,0)$ or little-string theories. The function also seems to encode the answer to questions about M-theory on an arbitrary $T^8$. The second conjecture that we wish to propose is that this function is harmonic with respect to the $E_{10}(R)$ invariant metric. In a similar fashion, we propose that there exists a function on the infinite Kac-Moody group $DE_{18}$ that encodes the twisted partition functions of the $E_8$ 5+1D theories as well as answers to questions about the heterotic string on $T^7$.

연구 동기 및 목표

• 게이지 이론과 리틀-스트링 이론의 토러스에 컴actified된 분할 함수를 위한 생성 함수를 구축하기.
• 단일 무한차원 코셋 공간 𝔈₁₀(ℤ)\𝔈₁₀(ℝ)/K 내에서 기하학적 토크스, U-duality 토크스, 순간자 기여를 통합하기.
• 이 생성 함수 Ξ(ξ)가 decompactification 한계에서 경계 조건이 0이 되는 유일한 조화 함수임을 추측하기.
• T⁹ 위의 M-이론의 분할 함수에 SO(2) 토크스를 통합하여 E₁₀의 구조에 삽입함으로써 (2,0) 이론과 리틀-스트링 이론과 연결하기.
• M-이론의 S-행렬이 T⁸ 위에서, 그리고 게이지 이론의 저에너지 근사가 단일 조화 함수 E₁₀ 위에서 유도되는 프레임워크를 제공하기.

제안 방법

• 수렴을 보장하기 위해 t를 포함한 U(N) 양-밀스 이론의 T⁴ 위에서의 생성 함수 Z(ϕ) = ∑ₙ₌₀^∞ e⁻ⁿᵗ Zₙ cos(nϕ)를 정의한다.
• 분할 함수를 수정하여 (2,0) 이론과 T⁶ 위의 리틀-스트링 이론에서의 발산을 정규화하기 위해 R-대칭 토크스를 도입한다.
• 기하학적 및 U-duality 토크스 매개변수를 무한차원 코셋 공간 𝔈₁₀(ℤ)\𝔈₁₀(ℝ)/K에 통합하며, 여기서 𝔈₁₀는 무한차원 Kac-Moody 군이다.
• 일반적인 무리수 SO(2) 토크스를 가진 T⁹ 위의 M-이론의 분할 함수를 기반으로 하여 주 함수 Ξ(ξ)를 구성한다. 이는 U-duality 토크스로 보완된다.
• T⁹의 7개 반경이 무한해지는 극한을 취하여 Ξ(ξ)에서 N-순간자 기여를 분리함으로써, (2,0) 이론과 관련된 T⁶ 컴팩티피케이션을 분리한다.
• 순간자와 관련된 주기적 플럭스 변수에 푸리에 변환을 적용하여 M5-브레인과 칼루차-클라인 모노폴로이드의 기여를 분리한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 대칭성을 통해 단일 생성 함수 Ξ(ξ)가 토러스 위의 양-밀스 이론과 리틀-스트링 이론의 분할 함수를 암시할 수 있는가?
• RQ2 일반적인 무리수 SO(2) 토크스를 가진 T⁹ 위의 M-이론 분할 함수는 잘 정의되어 있으며, 기하학적 및 U-duality 토크스 매개변수에 의존하는가?
• RQ3 M-이론의 S-행렬이 T⁸ 위에서 동일한 주 함수 Ξ(ξ)에서 추출될 수 있는가, 특히 중력 기여 Z₀가 그러한가?
• RQ4 Ξ(ξ)는 decompactification 한계에서 경계 조건이 0이 되는 유일한 조화 함수인가? 이는 𝔈₁₀(ℝ)/K 위에서 E₁₀(ℝ)-불변 메트릭에 대해 성립한다.
• RQ5 콤팩티피케이션된 이론의 전기적 및 자석 플럭스는 Ξ(ξ)의 조화 구조와 비편재 현상과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• U(N) 양-밀스 이론의 생성 함수 Z(ϕ)는 E₁₀ 코셋 공간 위에서 주 함수 Ξ(ξ)의 푸리에 성분으로 추측된다.
• 일반적인 무리수 토크스를 가진 T⁹ 위의 M-이론 분할 함수는 잘 정의되어 있으며 비자명한 것으로 제안되며, Ξ(ξ)의 기초를 이룬다.
• 주 함수 Ξ(ξ)는 E₁₀(ℝ)-불변 메트릭에 대해 𝔈₁₀(ℝ)/K 위의 조화 함수로 추측되며, decompactification 한계에서 경계 조건이 0이 되는 유일한 조건으로 유일하게 결정된다.
• 생성 함수 (1)의 중력 기여 Z₀는 T⁷ 위의 M-이론에 Spin(4) 토크스를 가진 기여로 식별되며, 질량이 없는 중력파의 S-행렬을 암시한다.
• T⁹의 7개 반경이 무한해지는 극한을 취함으로써 log(Ξ)에서 리틀-스트링 이론 분할 함수의 N-순간자 기여를 추출하였으며, 이는 T⁶ 컴팩티피케이션을 분리한다.
• 이 구성은 M5-브레인 순간자와 칼루차-클라인 모노폴로이드 순간자를 모두 포함하며, 그 플럭스는 푸리에 전개를 통해 기여를 분리하는 주기적 변수를 제공한다.