[논문 리뷰] Two-dimensional Artin groups with CAT(0) dimension three

Noel Brady, John Crisp|ArXiv.org|2000. 12. 13.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 기하 차원이 2이지만 CAT(0) 차원이 3인 3생성자 아르틴 군을 구성하여, CAT(0) 차원이 기하 차원을 엄격히 초월할 수 있음을 보여준다. 위상수학적 및 기하군론 기법을 사용하여, 저자들은 특정한 홀수 관계를 가진 아르틴 군(예: m,n ≥ 3인 홀수에 대해 A(m,n,2))이 2차원 CAT(0) 복합체 위에서 올바르게 이산적으로 작용할 수 없음을 증명한다. 그러나 이러한 군들은 3차원 비양의성 있는 조각적 유클리드 구조를 갖는다. 이는 기하 차원과 CAT(0) 차원 사이에 유한한 갭이 존재함을 입증한다.

ABSTRACT

We exhibit 3-generator Artin groups which have finite 2-dimensional Eilenberg-Mac Lane spaces, but which do not act properly discontinuously by semi-simple isometries on a 2-dimensional CAT(0) complex. We prove that infinitely many of these groups are the fundamental groups of compact, non-positively curved 3-complexes. These examples show that the geometric dimension of a CAT(0) group may be strictly less than its CAT(0) dimension.

연구 동기 및 목표

• 아르틴 군에서 기하 차원과 CAT(0) 차원 간의 관계를 조사한다.
• 일부 3생성자 아르틴 군이 2차원 CAT(0) 복합체 위에서 올바르게 이산적으로 작용할 수 있는지 여부를 규명한다.
• 아르틴 군 A(m,n,2)의 경우 명시적인 3차원 CAT(0) 구조를 구성한다.
• CAT(0) 차원이 기하 차원을 엄격히 초월할 수 있음을 보여준다.

제안 방법

• 저자들은 minset의 성질과 이동 길이의 특성을 이용하여 아르틴 군이 CAT(0) 공간 위에서 작용하는 방식을 분석한다.
• 플랫 토러스 정리와 커버링 차원 이론을 포함한 CAT(0) 기하학의 결과들을 적용한다.
• 조각적 유클리드 구조를 사용하여 아르틴 군 A(m,n,2)에 대한 3차원 K(G,1) 복합체를 구성한다.
• Eilenberg-Mac Lane 공간과 Rips 복합체에 관한 이전 연구 결과를 활용하여 기하 차원이 2임을 확립한다.
• 홀수 아르틴 관계의 구조를 분석하여 2차원 작용에 대한 차단 요소를 밝힌다.
• Kleiner의 차원 이론과 커버링 차원을 활용하여 CAT(0) 작용에 대한 위상적 제약 조건을 강화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하 차원이 2인 3생성자 아르틴 군이 CAT(0) 차원이 2를 초월할 수 있는가?
• RQ2 홀수 m,n ≥ 3인 아르틴 군 A(m,n,2)는 2차원 CAT(0) 복합체 위에서 올바르게 이산적으로 작용할 수 있는가?
• RQ3 A(m,n,2)가 올바르게 이산적으로 반사 등급 등급 이sov메트리에 의해 작용하는 최소 차원의 CAT(0) 공간은 무엇인가?
• RQ4 모든 유한한 A(m,n,2) 군을 제외한 나머지 군들에 대해 3차원 CAT(0) 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ5 탄성 없는 군들에서 기하 차원과 CAT(0) 차원 사이에 유한한 갭이 존재하는가?

주요 결과

• 홀수 정수 m,n ≥ 3에 대해 아르틴 군 A(m,n,2)는 기하 차원이 2이지만, 어떤 2차원 CAT(0) 복합체 위에서라도 반사 등급 등급 이sov메트리에 의해 올바르게 이산적으로 작용할 수 없다.
• A(m,n,2) 군의 거의 모든 경우는 컴팩트하고 비양의성 있는 3차원 조각적 유클리드 복합체의 기본군이다.
• A(m,n,p)의 기하 차원은 1/m + 1/n + 1/p ≤ 1일 때에만 2이며, 이는 무한히 많은 A(m,n,2) 군에서 m,n ≥ 3인 홀수에 대해 성립한다.
• 무한히 많은 3생성자 아르틴 군은 유한한 기하 차원 2를 가지지만 CAT(0) 차원은 3이며, 이는 엄격한 갭이 있음을 입증한다.
• 비작용 결과의 증명은 커버링 차원과 Kleiner의 차원 이론 덕분에, CW-복합체가 아닌 임의의 CAT(0) 공간에 대해서도 성립한다.
• 직접곱에 있어서 CAT(0) 차원은 추가 가정(예: 중심이 없는 군)이 없으면 덧셈이 되지 않지만, ℤⁿ과의 곱을 통해 여전히 유한한 갭을 구성할 수 있다.