[논문 리뷰] Two-dimensional categorified Hall algebras

Mauro Porta, Francesco Sala|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 18.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 22인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 유한성의 기반을 두고 있는 곡선과 면에 대해, 코herent sheaf, Higgs sheaf, 평탄한 배럴, 국소적 시스템의 유도 모듈리 스택을 사용하여 이차원 분류된 할 알제브라를 도입한다. 유도된 강화된 모듈리 스택을 활용하여, 코herent sheaf의 유한 유도 범주에 E1-모노이드 구조를 구성함으로써, 기존의 K-이론적 및 코homological 할 알제브라들을 분류화한다. 주요 기여는 이러한 새로운 구조를 통해 리만–힐베르트 및 비아벨리안 호지 대응을 분류화 수준으로 승격시키는 것이다.

ABSTRACT

In the present paper, we introduce two-dimensional categorified Hall algebras of smooth curves and smooth surfaces. A categorified Hall algebra is an associative monoidal structure on the stable $\infty$-category $\mathsf{Coh}^{\mathsf{b}}(\mathbb{R}\mathsf{M})$ of complexes of sheaves with bounded coherent cohomology on a derived moduli stack $\mathbb{R}\mathsf{M}$. In the surface case, $\mathbb{R}\mathsf{M}$ is a suitable derived enhancement of the moduli stack $\mathsf{M}$ of coherent sheaves on the surface. This construction categorifies the K-theoretical and cohomological Hall algebras of coherent sheaves on a surface of Zhao and Kapranov-Vasserot. In the curve case, we define three categorified Hall algebras associated with suitable derived enhancements of the moduli stack of Higgs sheaves on a curve $X$, the moduli stack of vector bundles with flat connections on $X$, and the moduli stack of finite-dimensional local systems on $X$, respectively. In the Higgs sheaves case we obtain a categorification of the K-theoretical and cohomological Hall algebras of Higgs sheaves on a curve of Minets and Sala-Schiffmann, while in the other two cases our construction yields, by passing to $\mathsf K_0$, new K-theoretical Hall algebras, and by passing to $\mathsf H_\ast^{\mathsf{BM}}$, new cohomological Hall algebras. Finally, we show that the Riemann-Hilbert and the non-abelian Hodge correspondences can be lifted to the level of our categorified Hall algebras of a curve.

연구 동기 및 목표

• 유도된 모듈리 스택의 강화를 사용하여 매끄러운 면과 곡선 위의 코herent sheaf에 대한 분류된 할 알제브라를 구성한다.
• 기존의 K-이론적 및 코homological 할 알제브라(CoHAs)를 코herent sheaf와 Higgs sheaf에 대해 분류화한다.
• 평탄한 벡터 배럴과 곡선 위의 국소적 시스템으로 이构造를 확장하여, 분류해제화 과정에서 새로운 K-이론적 및 코homological 할 알제브라를 도출한다.
• 리만–힐베르트 및 비아벨리안 호지 대응을 분류된 할 알제브라 수준으로 승격시킨다.
• 유도 기하학이 이러한 분류화에 필수적임을 보이며, 완전한 오차 이론만으로는 이를 회복할 수 없다는 것을 입증한다.

제안 방법

• 표면 및 곡선 위의 코herent sheaf에 대한 유도 모듈리 스택 RM 및 RMext를 사용하여, 고전적 모듈리 스택을 강화하여 확장 사상의 정규성을 향상시킨다.
• 유도된 확장 모듈리 스택에서 유도된 푸시-풀 구성 Rp∗∘q! 를 통해 할 곱을 정의하며, Rp의 더 나은 정규성에 기반한다.
• 코herent sheaf의 안정적인 ∞-범주 Cohb(RM)에 E1-모노이드 구조를 구성하여 CoHA의 콬볼루션 곱을 분류화한다.
• dg-범주에서 pro-범주로의 함자를 확장하기 위해 인드 오브젝트 이론과 이중함수 이론을 적용하여, 유도 기하학에서의 대응을 가능하게 한다.
• 인드 오브젝트의 맥락에서 기저 전환 및 베이크–셰바레 조건을 사용하여, 다양한 기하적 구조 간의 분류된 할 곱의 호환성을 확보한다.
• 인드-유한 콪터 스택과 2-pro-범주의 프레임워크를 활용하여, 유도 기하 스택에 대해 QCohpro에 대한 오른쪽-완화된 대칭 모노이드 구조를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유도된 모듈리 스택의 강화를 통해 통일된 2차원 분류된 할 알제브라를 구성할 수 있는가?
• RQ2 유도된 강화는 고전적 모듈리 스택에 비해 확장 사상의 정규성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 리만–힐베르트 및 비아벨리안 호지 대응은 분류된 할 알제브라 수준으로 승격시킬 수 있는가?
• RQ4 평탄한 배럴과 국소적 시스템 위의 분류된 구조에서 어떤 새로운 K-이론적 및 코homological 할 알제브라가 도출되는가?
• RQ5 완전한 오차 이론에 의존하지 않고 분류된 할 알제브라를 구성하는 것이 가능한가?

주요 결과

• 표면 위의 코herent sheaf 모듈리 스택의 유도 강화는 확장 사상 Rp가 lci임을 보장하여 잘 정의된 할 곱의 구성이 가능하다.
• 곡선 위의 Higgs sheaf 유도 모듈리 스택 위의 분류된 할 알제브라가 Minets 및 Sala–Schiffmann의 K-이론적 및 코homological 할 알제브라를 분류화한다.
• 곡선 위의 평탄한 벡터 배럴과 국소적 시스템에 대해, K0로의 전이 과정에서 새로운 K-이론적 할 알제브라가 도출되며, HBM∗를 통한 새로운 코homological 할 알제브라가 생성된다.
• 리만–힐베르트 대응은 Higgs sheaf와 평탄한 배럴의 분류된 할 알제브라 간의 대칭 모노이드 동치로 승격된다.
• 비아벨리안 호지 대응 역시 분류화 수준으로 승격되며, Higgs sheaf와 국소적 시스템의 할 알제브라 간의 대칭 모노이드 동치를 확립한다.
• 유도 기하학의 사용은 필수적이다: 분류된 구조는 유도 강화에 비트리스하게 의존하며, 완전한 오차 이론만으로는 복원될 수 없다.