[논문 리뷰] Two-dimensional ruin probability for subexponential claim size

Sergey Foss, Dmitry Korshunov외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 04.

Probability and Risk Models참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 하위지수적 청구 규모를 가진 리스크 모델에서, 두 보험사가 청구와 보험료를 비례적으로 공유하는 상황에서 이차원 리스크 확률에 대한 균일한 점근적 근사값을 수립한다. 복구 이론과 장꼬리 및 하위지수 분포의 성질을 이용하여, 초기 자본이 매우 클 때 연속적이고 독립적인 조건 하에서 공동 및 개별 리스크 확률에 대한 정확한 점근적 표현식을 유도한다. 이는 다변량 정규 변동성을 요구하지 않는 일반적인 조건 하에서 이루어진다.

ABSTRACT

We analyse the asymptotics of ruin probabilities of two insurance companies (or two branches of the same company) that divide between them both claims and premia in some specified proportions when the initial reserves of both companies tend to infinity and generic claim size is subexponential.

연구 동기 및 목표

• 하위지수적 청구 규모를 가진 이차원 리스크 모델에서 리스크 확률의 점근적 행동을 분석한다.
• 기존 결과를 다변량 정규 변동성 조건을 초월하여 파레토, 로그정규, 웨이부율을 포함한 더 넓은 하위지수 분포의 클래스로 확장한다.
• 초기 자본이 무한히 증가할 때 공동(두 회사 모두 파산) 및 개별(최소한 한 명이 파산) 리스크 확률에 대한 균일한 점근적 근사값을 유도한다.
• 이차원 분석을 n차원으로 확장하여 다수의 보험사에 적용 가능한 일반적 프레임워크를 제공한다.
• 고정된 시간 수준이 아닌 정지 시간에 대해 유사한 점근적 성질이 성립하는지 여부에 대한 열린 질문을 다룬다.

제안 방법

• 모델은 청구와 보험료가 두 회사 간 비례적으로 공유되는 복구 입력을 가진 이차원 리스크 과정으로 수립된다.
• 분석은 정규변동성 가정을 제거하는 강력한 하위지수 분포 클래스에 기반하며, 이는 정규변동성에 제한되지 않는다.
• 핵심 도구로는 복구 이론, 복구 과정에 대한 대수법칙, 尾확률을 포함한 적분의 점근적 동치성 등이 사용된다.
• 저자들은 두 차원 문제를 시간에 따라 변하는 경계를 가진 일차원 리스크 과정으로 변환함으로써, 첫 번째 통과 시간에 관한 기존 결과의 적용을 가능하게 한다.
• 제닝스 부등식과 볼록성 논증을 사용하여 尾확률 적분의 기대값에 대한 경계를 도출한다.
• 증명 기법은 장꼬리성과 하위지수성을 활용하여 이산 및 연속 적분 근사의 점근적 동치성을 정당화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 자본이 매우 커지고 청구 규모가 하위지수적일 때, 두 보험사 중 최소한 한 명이 파산할 확률의 점근적 행동은 어떻게 되는가?
• RQ2 동일한 조건 하에서 공동 파산 확률(두 회사가 동시에 파산)은 점근적으로 어떻게 행동하는가?
• RQ3 고정된 시간 수준에서 정지 시간으로의 점근적 근사가 확장될 수 있는가?
• RQ4 복구 과정의 필터레이션에 의해 생성된 모든 정지 시간에 대해 결과가 균일하게 성립하는가?
• RQ5 이차원 분석을 두 명 이상의 보험사가 있는 모델로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 개별 파산 확률, 즉 최소한 한 회사가 파산할 확률은 시간에 따라 가중된 청구 규모의 꼬리 분포의 기대 적분과 점근적으로 동치이다. 이 가중치는 두 자본 과정의 최솟값이다.
• 공동 파산 확률, 즉 두 회사가 동시에 파산할 확률은 시간에 따라 가중된 꼬리 분포의 기대 적분과 점근적으로 동치이다. 이 가중치는 두 자본 과정의 최댓값이다.
• 점근적 근사값은 모든 초기 자본이 무한히 증가할 때 균일하게 성립하며, 다변량 정규 변동성을 요구하지 않는 일반적인 강력한 하위지수 분포에 대해 유효하다.
• 일차원 환원을 일반화하고 조각별 선형 경계를 사용하여 n개의 보험사로 결과를 확장하였다.
• 장꼬리성과 복구 이론을 통한 엄밀한 정당화를 통해 이산 및 연속 적분 형태의 점근적 동치성을 제공하였다.
• 열린 추측을 제기한다: 시간 수준이 정지 시간으로 대체될 경우 동일한 점근적 형태가 유지되며, 이는 고정된 수준을 초월한 근사의 강건성을 시사한다.