[논문 리뷰] Two-Dimensional Twisted Sigma Models And The Theory of Chiral Differential Operators

Meng-Chwan Tan|arXiv (Cornell University)|2006. 04. 25.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 복소다양체 위의 허미션티안 다발 위에 정의된 휘어진 $(0,2)$ 허미션틱 시그마 모형을 통해 케이랄 미분 연산자(CDO)의 물리적 해석을 수립한다. 이 모형은 코herent sheaf of vertex superalgebras의 전역 정의에 대한 차단 요소로써 이상을 나타냄을 보여준다. 주요 결과로는 목표 다발과 다발의 허미션티안 데이터로부터 순수하게 허미션티안 데이터만을 사용해 일주기 보타 함수를 유도하고, $\mathbb{CP}^1$에서의 반-완전 휘어진 $(2,2)$ 모형에서 $SL(2)$ 전류 대수를 수준 $t$에서 식별함으로써 CDO 모듈리 공간과 WZW 이론 수준 간의 연결을 확립한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the perturbative aspects of a twisted version of the two-dimensional $(0,2)$ heterotic sigma model on a holomorphic gauge bundle $\mathcal E$ over a complex, hermitian manifold $X$. We show that the model can be naturally described in terms of the mathematical theory of ``Chiral Differential Operators". In particular, the physical anomalies of the sigma model can be reinterpreted in terms of an obstruction to a global definition of the associated sheaf of vertex superalgebras derived from the free conformal field theory describing the model locally on $X$. One can also obtain a novel understanding of the sigma model one-loop beta function solely in terms of holomorphic data. At the $(2,2)$ locus, where the obstruction vanishes for $\it{any}$ smooth manifold $X$, we obtain a purely mathematical description of the half-twisted variant of the topological A-model and (if $c_1(X) =0$) its elliptic genus. By studying the half-twisted $(2,2)$ model on $X=\mathbb {CP}^1$, one can show that a subset of the infinite-dimensional space of physical operators generates an underlying super-affine Lie algebra. Furthermore, on a non-Kähler, parallelised, group manifold with torsion, we uncover a direct relationship between the modulus of the corresponding sheaves of chiral de Rham complex, and the level of the underlying WZW theory.

연구 동기 및 목표

• 허미션틱 시그마 모형을 통해 케이랄 미분 연산자(CDO) 이론의 수학적 이론에 물리적 해석을 제공하는 것.
• 모형 내 이상의 물리적 기원을 국소 자유 conformal field theory에서 유도된 vertex superalgebra의 sheaf의 전역 정의에 대한 장애로 명확히 하는 것.
• 목표 다발과 다발의 허미션티안 데이터만을 사용해 시그마 모형의 일주기 보타 함수를 유도하는 것.
• 비카일러, 토르션을 가진 병렬화된 군 다량체에서 CDO의 모듈리 공간과 기저 WZW 이론의 수준 간의 대응을 설정하는 것.

제안 방법

• 복소 다양체 $X$ 위의 허미션티안 다발 $\mathcal{E}$ 위에 휘어진 $(0,2)$ 허미션틱 시그마 모형을 구축하며, 월드시트 장의 스핀을 재정의한다.
• 퍼티튜브적 영역에서 물리적 연산자들의 케이랄 대수를 분석하고, 국소 자유 $bc$-$\beta\gamma$ 시스템에서 유도된 vertex superalgebra의 sheaf와 일치시킨다.
• Cech 코hom올로지를 사용해 관측가능성의 sheaf의 전역 구조를 기술하며, 전역 정의에 대한 장애가 물리적 이상으로 드러나게 한다.
• $\mathbb{CP}^1$에서의 반-완전 휘어진 $(2,2)$ 모형에서 전류의 연산자 곱 전개(OPEs)를 계산하고, 수준 $t$와 $-t$에서 각각 $SL(2)$ 및 $GL(1)$ 전류 대수를 식별한다.
• 비자명한 전이 함수에 따른 전류의 변환을 연구하며, $t$-의존 항이 sheaf의 일관된 전역 정의를 가능하게 함을 보여준다.
• CDR 매개변수 $t$를 $SU(2)$ WZW 이론의 수준 $k$와 $k = t - 2$ 관계로 연결함으로써 $t=0$에서의 일관성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수학적 케이랄 미분 연산자 이론은 어떻게 휘어진 허미션틱 시그마 모형을 통해 물리적으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 모형 내에서 vertex superalgebra의 sheaf의 전역 정의에 대한 장애는 어떤 물리적 의미를 갖는가?
• RQ3 $(0,2)$ 모형의 일주기 보타 함수는 목표 공간과 다발의 허미션티안 데이터로만 표현될 수 있는가?
• RQ4 비카일러, 병행화된 군 다량체에서 CDO의 모듈리 공간은 기저 WZW 이론의 수준과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 $\mathbb{CP}^1$에서의 반-완전 휘어진 $(2,2)$ 모형에서 물리적 연산자들의 케이랄 대수의 구조는 무엇이며, 무한차원 리 대수를 지지하는가?

주요 결과

• 휘어진 $(0,2)$ 시그마 모형 내 물리적 이상은 국소 자유 conformal field theory에서 유도된 vertex superalgebra의 sheaf의 전역 정의에 대한 장애로 식별된다.
• 모형의 일주기 보타 함수는 비허미션티안 보정 없이도 목표 다량체와 다발의 허미션티안 데이터로 완전히 결정된다.
• 반-완전 휘어진 $(2,2)$ 모형에서 $\mathbb{CP}^1$에서 물리적 연산자들의 케이랄 대수에는 초-아핀 리 대수를 생성하는 부분집합이 포함되어 있다.
• 비카일러, 토르션을 가진 병행화된 군 다량체에서 CDO sheaf의 모듈러스는 기저 WZW 이론의 수준과 $k = t - 2$ 관계로 직접 연결되며, $t$는 CDR 매개변수이다.
• $\mathbb{CP}^1$에서의 반-완전 휘어진 모형에서 $SL(2)$ 및 $GL(1)$ 전류 대수의 수준은 각각 $t$와 $-t$이며, 이는 WZW 대응과의 일관성을 확인한다.
• ${\overline{Q}}_+$-코호몰로지가 $\mathbf{S}^3 \times \mathbf{S}^1$에서 정확하고 순간자 보정이 없으며, 이는 목표 공간에 종수 0의 허미션티안 곡선이 존재하지 않기 때문이다.