[논문 리뷰] Two examples of surfaces with normal crossing singularities

Janós Kollár|ArXiv.org|2007. 05. 07.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반형으로서의 정규 교차 특이점을 갖는 두 개의 기약적이고 사영적인 면을 구성하여, 그 캐논릭 라인 번들의 이상한 행동을 보여준다: 하나는 캐논릭 링이 유한생성되지 않는 것이고, 다른 하나는 정규화로의 올려진 사상이 앰플이지만 면 자체의 캐논릭 번들이 앰플이 아닌 경우이다. 이러한 예는 특이 면에서의 다중 캐논릭 계열의 행동에 관해 오랫동안 남아있던 대수기하학의 질문을 해결한다.

ABSTRACT

This note gives two examples of surfaces with normal crossing singularities. In the first example the canonical ring is not finitely generated. In the second, the canonical line bundle is not ample but its pull back to the normalization is ample. The latter answers in the negative a problem left unresolved in [EGA,III.2.6.2] and raised again by Viehweg.

연구 동기 및 목표

• 정규 교차 특이점을 갖는 면에서 캐논릭 라인 번들의 예상치 못한 행동을 보이는 명시적 예를 구성하기 위해.
• EGA에서 남겨진 질문과 비에흐베그가 제기한 특이 면에서 캐논릭 번들의 앰플리시티에 관해 열려있던 질문을 해결하기 위해.
• 일반형이지만 캐논릭 링이 유한생성되지 않을 수 있음을 보여주기 위해, 특이 면의 캐논릭 링이 반드시 유한생성되지는 않음을 보여주기 위해.
• 정규화로의 올려진 사상이 앰플이지만, 특이 면 자체의 캐논릭 번지가 앰플이 아닐 수 있음을 보여주기 위해.
• 최소 모델 프로그램에서 반-로그-칸론 특이점을 갖는 면에 대해 플루리칸논릭 링이 플립에 대해 불변이 아니라는 점을 부각시키기 위해.

제안 방법

• 표면 $S_1$ 를 유한 사상에 의해 곡선에 따라 붙임으로써 첫 번째 예인 $T_1$ 를 구성함. 이로 인해 삼중점이 두 개 존재하는 면이 생성됨.
• 정규화 $ar{S}$ 와 쌍대성층 관계 $n^* ho_S o ho_{ar{S}}(ar{D})$ 를 사용하여 다중 캐논릭 단면을 계산함.
• 붙임 기준을 적용함: 만약 표면 $S$ 에서의 인자 $H$ 가 붙임 곡선과 횡단적으로 만날 뿐 아니라 붙임 사상에 대해 보존된다면, 그 이미지는 몫에서 앰플이 됨.
• $ ho_S^{[m]}$ 의 단면을 계산하기 위해, 정규화에서의 단면이 특이 곡선에서 $(-1)^m\tau$-불변이어야 한다는 조건을 사용함.
• 붙임이 서로 다른 분지 간에 상쇄되지 않는 극을 유도할 경우, 캐논릭 링이 유한생성되지 않음을 보여주기 위해.
• 두 번째 예인 $T_2$ 는 곡선의 곱의 몫을 취하고, 반전을 적용하여 24개의 노드를 갖는 면을 구성함. 정규화에서의 국소 계산을 통해 캐논릭 번지의 행동을 분석함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 교차 특이점을 갖는 사영적이고 기약적인 면에서 캐논릭 링이 유한생성되지 않을 수 있는가?
• RQ2 정규화로의 올려진 사상이 앰플이라면, 정규 교차 특이점을 갖는 특이 면의 캐논릭 번지는 반드시 앰플인가?
• RQ3 가운데의 가닥에서 특이 섬유의 캐논릭 링은 최소 모델 프로그램에 의해 어떻게 영향을 받는가?
• RQ4 비정규 특이점을 갖는 경우, 플루리칸논릭 계열이 플립에 대해 어느 정도 유지되는가?
• RQ5 곡선의 붙임 조건이 쌍대성층의 단면이 특이 면으로 내림내림되는 데 어떤 조건을 필요로 하는가?

주요 결과

• 일반형이면서 정규 교차 특이점을 갖는 기약적이고 사영적인 면 $T_1$ 가 존재하며, 그 캐논릭 링은 유한생성되지 않는다.
• $T_1$ 은 표면 $S_1$ 을 유한 사상에 의해 곡선에 붙임으로써 구성되며, 붙임된 분지 간의 극 차수 불일치로 인해 캐논릭 링이 유한생성되지 않는다.
• 캐논릭 번지 $ ho_{T_1}$ 는 앰플이 아니지만, 정규화로의 올려진 사상은 앰플이므로, 앰플리시티가 특이화 사상에서 보존되지 않음을 보여준다.
• 두 번째 예인 $T_2$ 에서 캐논릭 번지 $ ho_{T_2}$ 는 앰플이 아니지만, 정규화로의 올려진 사상은 앰플이므로, EGA와 비에흐베그의 질문을 해결한다.
• 정규화에서의 국소 계산을 통해 $ ho_{T_2}^{2m}$ 의 모든 단면이 이중 곡선 $D$ 에서 $ ho_D^{2m}$ 의 단면으로 제한되며, 이는 영이 되게 하여 비-앰플리시티를 유도한다.
• $T_1$ 은 붙임 조건이 적절한 인자 $H$ 에 대해 횡단성과 불변성을 유지하므로 사영적이다.