[논문 리뷰] Two infinite classes of rotation symmetric bent functions with simple representation

Chunming Tang, Yanfeng Qi외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 23.

Coding theory and cryptography참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $n = 2m$ 인 $ℚ_2^n$ 상에서 두 개의 무한한 클래스의 회전 대칭 벤트 함수를 제시한다. 이는 대칭적인 이차항의 합과 회전 대칭 다항식 $γ$ 를 사용하여 구성된다. 첫 번째 클래스는 2에서 $m$ 사이의 대수적 차수를 가지며, 두 번째 클래스는 추가적인 삼차항을 포함하여 3에서 $m$ 사이의 차수를 가지며, 양측 모두 애फ인 변환에 의해 Maiorana-McFarland 클래스의 함수와 동치임을 증명하였다.

ABSTRACT

In the literature, few $n$-variable rotation symmetric bent functions have been constructed. In this paper, we present two infinite classes of rotation symmetric bent functions on $\mathbb{F}_2^{n}$ of the two forms: { m (i)} $f(x)=\sum_{i=0}^{m-1}x_ix_{i+m} + γ(x_0+x_m,\cdots, x_{m-1}+x_{2m-1})$, { m (ii)} $f_t(x)= \sum_{i=0}^{n-1}(x_ix_{i+t}x_{i+m} +x_{i}x_{i+t})+ \sum_{i=0}^{m-1}x_ix_{i+m}+ γ(x_0+x_m,\cdots, x_{m-1}+x_{2m-1})$, oindent where $n=2m$, $γ(X_0,X_1,\cdots, X_{m-1})$ is any rotation symmetric polynomial, and $m/gcd(m,t)$ is odd. The class (i) of rotation symmetric bent functions has algebraic degree ranging from 2 to $m$ and the other class (ii) has algebraic degree ranging from 3 to $m$.

연구 동기 및 목표

• 높은 대수적 차수를 가지는 알려진 회전 대칭 벤트 함수의 부족 문제를 해결하기 위해.
• 암호학적 응용에 적합하고 계산적으로 효율적인 새로운 무한한 회전 대칭 벤트 함수의 가족을 구성하기 위해.
• 기존의 구성 방식을 확장하여 회전 대칭 다항식 $\gamma$ 를 통합하고, $m$ 과 $t$ 에 대한 특정 조건에서 벤트성을 보장하기 위해.
• 구성된 함수들이 완비된 Maiorana-McFarland 클래스에 속함을 보여주어 이론적 강건성을 확보하기 위해.

제안 방법

• 모든 $\gamma$ 가 회전 대칭 다항식인 $f(x) = \sum_{i=0}^{m-1} x_i x_{i+m} + \gamma(x_0+x_m, \dots, x_{m-1}+x_{2m-1})$ 형태의 벤트 함수를 구성한다.
• 조건 $n=2m$ 과 $m/\gcd(m,t)$ 가 홀수일 때, $f_t(x) = \sum_{i=0}^{n-1}(x_i x_{i+t} x_{i+m} + x_i x_{i+t}) + \sum_{i=0}^{m-1} x_i x_{i+m} + \gamma(\dots)$ 로 구성된 확장된 형태로 확장한다.
• Maiorana-McFarland 클래스의 함수를 회전 대칭 형태로 매핑하기 위해 애फ인 변환을 사용한다.
• 사상 $a \mapsto (\pi_0(a), \dots, \pi_{m-1}(a))$ 의 치환 성질을 활용하며, 여기서 $\pi_i(a) = a_i a_{i+t} + a_{i+t} + a_{i+m-t}$ 이고, $m/\gcd(m,t)$ 가 홀수일 때 이 사상이 전단사임을 증명한다.
• 대수적 변형과 항등식 대입을 통해 변환 후에도 함수가 여전히 벤트임을 확인한다.
• 회전 대칭 벤트 함수의 이중 함수 역시 회전 대칭임을 이용하여, 구성 과정에서 대칭성이 유지됨을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 통제 가능한 대수적 차수를 가지며 체계적으로 새로운 무한한 회전 대칭 벤트 함수의 클래스를 구성할 수 있는가?
• RQ2 $m$ 과 $t$ 에 어떤 조건이 성립해야 구성된 함수가 여전히 벤트이자 회전 대칭이 되는가?
• RQ3 선택한 $\gamma$ 에 따라 구성된 벤트 함수의 대수적 차수는 어떻게 변하는가?
• RQ4 구성된 함수들이 기존의 Maiorana-McFarland 클래스에 속하는 알려진 벤트 함수와 동치인가?
• RQ5 벤트성을 유지하면서도 고차수의 회전 대칭 다항식을 포함하도록 구성 방식을 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 첫 번째 회전 대칭 벤트 함수 클래스는 $\gamma$ 의 차수에 따라 2에서 $m$ 사이의 대수적 차수를 가진다.
• 추가적인 삼차항을 포함한 두 번째 클래스는 $\gamma$ 에 의해 결정되는 3에서 $m$ 사이의 대수적 차수를 가진다.
• Maiorana-McFarland 클래스의 함수를 회전 대칭 형태로 매핑하는 애फ인 변환을 통해 구성된 함수들이 벤트임을 증명하였다.
• 함수들은 완비된 Maiorana-McFarland 클래스에 속함을 보여 이론적 타당성과 암호학적 관련성을 확보하였다.
• $m/\gcd(m,t)$ 가 홀수임은 벤트성 증명의 기초가 되는 치환 성질을 확보하는 데 필수적이다.
• 이 구성 방법은 체계적이고 일반적이며, 홀수 비율 조건을 만족하는 모든 $m$ 에 대해 무한한 벤트 함수의 가족을 생성할 수 있다.