[논문 리뷰] Two New Interpretations of the Fishburn Numbers and their Refined Generating Functions

Paul Levande|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 15.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 피셔번 수의 두 가지 새로운 조합적 해석을 제시한다: 2-중첩이 없는 매칭과 감소하는 연속 부분수열이 없는 역전치표. 직접적인 이분법과 치환 원리를 사용하여, 이 두 구조가 피셔번 수와 동일한 생성함수를 가짐을 증명함으로써 클라에손과 린우스온의 추측을 확인하고, 렘멜과 키타에프가 제안한 두 가지 정제된 생성함수의 동치성을 확립한다.

ABSTRACT

We show that two classes of combinatorial objects--inversion tables with no subsequence of decreasing consecutive numbers and matchings with no 2-nestings--are enumerated by the Fishburn numbers. In particular, we give a simple bijection between matchings with no 2-nestings and inversion tables with no subsequence of decreasing consecutive numbers. We then prove using the involution principle that inversion tables with no subsequence of decreasing consecutive numbers have the same generating function as the Fishburn numbers. The Fishburn numbers have previously been shown by Bousquet-Mélou, Claesson, Dukes and Kitaev to enumerate $ extbf{(2+2)}$-avoiding posets, matchings with no left- or right-nestings, permutations avoiding a particular pattern, and so-called ascent sequences, and by Dukes and Parviainen to enumerate upper triangular matrices with non-negative entries and no empty rows or columns. Claesson and Linusson conjectured they also enumerated matchings with no 2-nestings. Using these new interpretations of the Fishburn numbers and another version of the involution, we prove the conjectured equality (also proven using matrices by Jel\'ınek and by Yan) of two refinements by Remmel and Kitaev of the Fishburn generating function. In an appendix, we state and prove another conjecture of Claesson and Linusson giving the distribution of left-nestings over the set of all matchings.

연구 동기 및 목표

• 기존의 (2+2)-피回避 포스셋과 상승 수열과 같은 알려진 클래스 외에 피셔번 수의 새로운 조합적 해석을 제공하기 위해.
• 클라에손과 린우스온의 추측, 즉 2-중첩이 없는 매칭이 피셔번 수로 세어짐을 증명하기 위해.
• 렘멜과 키타에프가 제안한 피셔번 수에 대한 두 가지 정제된 생성함수의 동치성을 확립하기 위해.
• 이분법과 치환 기반 증명을 통해 피셔번 수 생성함수에 대한 이해를 확장하기 위해.

제안 방법

• 2-중첩이 없는 매칭과 감소하는 연속 부분수열이 없는 역전치표 사이의 직접 이분법을 수립하기 위해.
• 치환 원리를 적용하여, 이러한 역전치표의 생성함수가 알려진 피셔번 생성함수와 일치함을 증명하기 위해.
• 각 위치에서 $ a_i = i-1 $ 가 성립하는 횟수를 추적하는 정제된 생성함수를 만들고, 이가 렘멜–키타에프의 이변수 생성함수와 일치함을 증명하기 위해.
• 치환 증명의 변형을 사용하여, 동일한 정제된 생성함수가 렘멜–키타에프의 두 번째 형태와도 일치함을 보여주기 위해.
• 유도된 인덕티브 호 삽입에 기반한 재귀를 사용하여 매칭에서의 왼쪽 중첩에 관한 관련 추측을 증명하기 위해.
• 작은 $ n $ 에서 생성함수의 대칭성 성질을 검증하여, 일반화된 $ q,t $-통계의 잠재적 가능성을 시사하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클라에손과 린우스온의 추측에 따르면, 2-중첩이 없는 매칭은 피셔번 수로 세어지는가?
• RQ2 렘멜과 키타에프가 제안한 피셔번 수에 대한 두 가지 정제된 생성함수는 증명적으로 동치되는가?
• RQ3 2-중첩이 없는 매칭과 감소하는 연속 부분수열이 없는 역전치표 사이에 직접적인 조합적 이분법이 존재하는가?
• RQ4 모든 매칭에서의 왼쪽 중첩 분포는 제2차 오일러 삼각형을 따르는가?
• RQ5 면적과 dinv와 유사한 통계를 피셔번 구조적 객체에 정의하여 대칭 생성함수를 얻을 수 있는가?

주요 결과

• 2-중첩이 없는 매칭과 감소하는 연속 부분수열이 없는 역전치표 사이에 직접 이분법이 구성되었으며, 이는 피셔번 수의 새로운 조합적 해석을 확인한다.
• 치환 원리를 사용하여, 감소하는 연속 부분수열이 없는 역전치표의 생성함수가 알려진 피셔번 생성함수와 동일함을 증명하였다.
• 각 위치에서 $ a_i = i-1 $ 가 성립하는 횟수를 추적하는 피셔번 수의 정제된 생성함수는 렘멜과 키타에프가 제안한 두 형태 모두와 일치함을 보였다.
• 모든 매칭에서의 왼쪽 중첩 분포가 제2차 오일러 삼각형을 따름을 증명하여, 클라에손과 린우스온의 추측을 확인하였다.
• $ n \leq 5 $ 에서는 역전치표와 상승 수열 모두에서 대칭 생성함수 관측이 가능했지만, $ n=6 $ 에서는 대칭성이 성립하지 않아 추가 정제가 필요할 수 있음을 시사하였다.
• 결과는 피셔번 객체에 대한 일반화된 $ q,t $-통계 탐색의 기초를 제공하며, $ q,t $-카탈란 다항식 이론의 확장 가능성을 시사한다.