[논문 리뷰] Two new kinds of numbers and related divisibility results

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 21.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 6인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 중심 이항계수와 역수 홀수 정수를 포함하는 이항합을 통해 정의된 두 개의 새로운 정수 수열 $ R_n $과 $ S_n $을 소개한다. 제일버거 알고리즘을 사용하여 두 수열에 대한 제3차 선형 재귀관계를 유도하고, 특히 소수 $ p \equiv \pm1 \pmod{4} $ 에서 $ R_n $과 레이지만드의 계수 및 제곱 중심 이항계수의 합을 모듈로 $ p^2 $ 로 연결하는 새로운 $ p $-진 합동식을 확립한다.

ABSTRACT

We mainly introduce two new kinds of numbers given by $$R_n=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{n+k}k\frac1{2k-1}\quad\ (n=0,1,2,...)$$ and $$S_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k(2k+1)\quad\ (n=0,1,2,...).$$ We find that such numbers have many interesting arithmetic properties. For example, if $p\equiv1\pmod 4$ is a prime with $p=x^2+y^2$ (where $x\equiv1\pmod 4$ and $y\equiv0\pmod 2$), then $$R_{(p-1)/2}\equiv p-(-1)^{(p-1)/4}2x\pmod{p^2}.$$ Also, $$\frac1{n^2}\sum_{k=0}^{n-1}S_k\in\mathbb Z\ \ {and}\ \ \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}S_k(x)\in\mathbb Z[x]\quad ext{for all}\ n=1,2,3,...,$$ where $S_k(x)=\sum_{j=0}^k\binom kj^2\binom{2j}j(2j+1)x^j$. For any positive integers $a$ and $n$, we show that, somewhat surprisingly, $$\frac1{n^2}\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)\binom{n-1}k^a\binom{-n-1}k^a\in\mathbb Z\ \ {and} \ \ \frac 1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\binom{n-1}k^a\binom{-n-1}k^a}{4k^2-1}\in\mathbb Z.$$ We also solve a conjecture of V.J.W. Guo and J. Zeng, and pose several conjectures for further research.

연구 동기 및 목표

• 카탈란 수와 슈뢰더 수를 넘어서 조합론적 수론을 확장하기 위해 두 개의 새로운 정수 수열 $ R_n $과 $ S_n $을 정의하고 연구하는 것.
• 제일버거 알고리즘을 사용하여 $ R_n $과 $ S_n $ 및 그 관련 다항식 $ R_n(x) $, $ S_n(x) $에 대한 선형 재귀관계를 도출하는 것.
• 특히 소수 $ p \equiv 1,3 \pmod{4} $ 에서 $ R_n $이 중심 이항계수와 레이지만드 계수를 연결하는 깊이 있는 $ p $-진 합동식을 확립하는 것.
• 다항식 $ R_n(x) $, $ S_n(x) $의 기약성과 $ R_k $, $ S_k $ 및 관련 수열의 제곱합의 나눗셈 성질에 대한 추측을 제기하는 것.

제안 방법

• 제1형 슈뢰더 수의 변형으로, 역수 홀수 분모를 가진 수열인 $ R_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{n+k}{k}\frac{1}{2k-1} $ 를 정의한다.
• 이차 이항계수 가중치와 선형 항을 포함하는 새로운 수열인 $ S_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2\binom{2k}{k}(2k+1) $ 를 정의한다.
• 마이크로소프트 워드 9에서 제일버거 알고리즘을 적용하여 $ R_n $, $ S_n $ 및 다항식 일반화 $ R_n(x) $, $ S_n(x) $에 대한 제3차 선형 재귀관계를 도출한다.
• $ R_{(p-1)/2} $ 및 관련 합에 대한 $ p $-진 합동식을 확립하여, 이들이 이항계수 모듈로 $ p^2 $ 에 대한 가우스와 초아-더크-에반스 결과와 연결됨을 보인다.
• 다항식 $ R_n(x) $ 및 $ S_n(x) $ 가 $ \mathbb{Q} $ 위에서 기약임을 추측하고, $ R_k^2 $, $ S_k $, $ s_k $ 등의 가중합이 $ n $, $ n^2 $, 또는 $ n^3 $ 으로 나누어 떨어짐을 추측한다.
• $ q $-해석형 수식과 합동식을 제안하며, $ [n]_q $ 모듈로에서 검증하고 $ \mathbb{Z}[q] $ 에서 $ [n]_q^2 $ 로의 완전한 나눗셈을 추측한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 새로운 수열 $ R_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{n+k}{k}\frac{1}{2k-1} $ 의 조합론적 및 산술적 성질은 무엇이며, 슈뢰더 수와 카탈란 수와의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ2 소수 $ p \equiv 1 \pmod{4} $ 에서 $ R_n $ 이 모듈로 $ p^2 $ 로 어떻게 행동하는가? 또한 가우스와 초아-더크-에반스의 합동식과의 연결 고리는 무엇인가?
• RQ3 수열 $ R_n $과 $ S_n $을 지배하는 재귀관계는 무엇이며, 다항식 일반화 $ R_n(x) $, $ S_n(x) $ 는 대수적 및 산술적 제약 조건 하에서 어떻게 행동하는가?
• RQ4 $ \sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 $, $ \sum_{k=0}^{n-1} S_k $ 및 관련 수열은 $ n $, $ n^2 $, 또는 $ n^3 $ 으로 나누어지는가? 그리고 $ q $-해석형은 무엇이 있는가?
• RQ5 $ R_n $ 에 대한 $ p $-진 합동식을 $ q $-해석형으로 확장할 수 있으며, 이들이 $ \mathbb{Z}[q] $ 에서 $ [n]_q^2 $ 로 나누어지는가?

주요 결과

• 수열 $ R_n $ 은 모든 $ n \in \mathbb{N} $ 에 대해 제3차 재귀관계 $ (n+1)R_n - (7n+15)R_{n+1} + (7n+13)R_{n+2} - (n+3)R_{n+3} = 0 $ 을 만족한다.
• 소수 $ p \equiv 1 \pmod{4} $ 에 대해 $ R_{(p-1)/2} \equiv -2\left(\frac{2}{p}\right)x \pmod{p^2} $ 를 만족하며, 이때 $ p = x^2 + y^2 $ 이고 $ x \equiv 1 \pmod{4} $ 이다. 이는 $ R_n $ 이 두 제곱수의 합과 연결됨을 보여준다.
• 합 $ \sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2}{(2k-1)(-16)^k} \equiv -2\left(\frac{2}{p}\right)x \pmod{p^2} $ 를 만족하며, $ x = -2 $ 및 $ x = -1/2 $ 에 대해서도 유사한 합동식이 성립한다. 이때 $ R_n(x) $ 의 값은 이러한 합과 일치한다.
• 소수 $ p \equiv 3 \pmod{4} $ 에 대해 $ R_{(p-1)/2} \equiv -\frac{1}{2}\left(\frac{2}{p}\right)\binom{(p+1)/2}{(p+1)/4} \pmod{p} $ 를 만족하며, 이러한 소수에 대해 다른 행동 양태를 보임을 보여준다.
• 합 $ \sum_{k=0}^{n-1} R_k \equiv -p - \left(\frac{-1}{p}\right) \pmod{p^2} $ 를 만족하며, 이는 $ R_k $ 의 부분합이 모듈로 $ p^2 $ 에 대해 합동임을 보여준다.
• 다항식 $ R_n(-1) = -(2n+1) $ 이고, 항등식 $ \sum_{k=0}^{n} \frac{\binom{n}{k}\binom{-n}{k}}{2k-1} = -2n $ 는 새로운 짧고 간결한 조합론적 항등식이다.