[논문 리뷰] Two New Zeta Constants: Fractal String, Continued Fraction, and Hypergeometric Aspects of the Riemann Zeta Function

Stephen Crowley|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 04.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 초함수 표현과 리만 제타 함수의 해석적 계속을 통해 두 개의 새로운 제타 상수 ζ^F(0) = I₀(2) − 1 및 ζ^F(1) = Ei(1) − γ를 도입한다. 이 값들은 확률적으로 해석될 때, 서로소 정수 쌍과 삼중체에 대해 각각 78.15% 및 75.88%의 역확률을 제공하며, 표준 제타 값과 다름을 보이고, 가우스 및 조화 사다리꼴 맵을 통한 분수선과 혼돈 동역학계와 연결된다.

ABSTRACT

The Riemann zeta function at integer arguments can be written as an infinite sum of certain hypergeometric functions and more generally the same can be done with polylogarithms, for which several zeta functions are a special case. An analytic continuation formula for these hypergeometric functions exists and is used to derive some infinite sums which allow the zeta function at integer arguments n to be written as a weighted infinite sum of hypergeometric functions at n - 1. The form might be considered to be a shift operator for the Riemann zeta function which leads to the curious values ζF(0) = I_0(2) - 1 and ζF(1) = Ei(1) - γ which involve a Bessel function of the first kind and an exponential integral respectively and differ from the values ζ(0) = -1/2 and ζ(1) = \infty given by the usual method of continuation. Interpreting these "hypergeometrically continued" values of the zeta constants in terms of reciprocal common factor probability we have ζF(0)^-1 \sim 78.15% and ζF(1)^-1 \sim 75.88% which contrasts with the standard known values for sensible cases like ζ(2)^-1 \sim 60.79% and ζ(3)^-1 \sim 83.19%. The combinatorial definitions of the Stirling numbers of the second kind, and the 2-restricted Stirling numbers of the second kind are recalled because they appear in the differential equatlon satisfied by the hypergeometric representation of the polylogarithm. The notion of fractal strings is related to the (chaotic) Gauss map of the unit interval which arises in the study of continued fractions, and another chaotic map is also introduced called the "Harmonic sawtooth" whose Mellin transform is the (appropritately scaled) Riemann zeta function. These maps are within the family of what might be called "deterministic chaos". Some number theoretic definitions are also recalled.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 초함수를 사용하여 정수 계수에서 리만 제타 함수의 초함수 표현을 개발한다.
• 연속 초함수를 통한 새로운 해석적 계속을 정의하고 분석하여 s = 0 및 s = 1에서의 대체 값을 도출한다.
• 새로운 제타 상수 ζ^F(0) 및 ζ^F(1)를 서로소 정수 튜플의 역확률로 확률적으로 해석하며, 기존 제타 값과 대비한다.
• 메린 변환을 통해 제타 함수를 동역학계, 특히 가우스 맵과 새로 도입된 '조화 사다리꼴 맵'과 연결한다.
• 제타 함수, 다이로그함수, 스티어링 수, 그리고 베셀 및 지수 적분과 같은 특수 함수 간의 관계를 탐색한다.

제안 방법

• 해석적 계속 기법을 사용하여 정수 n에서 리만 제타 함수를 _{n+1}F_n 형식의 초함수의 가중 무한합으로 유도한다.
• 일반화된 초함수의 연속 함수 관계를 적용하여 ζ^F(n)을 ζ^F(n−1)에서 유도하는 재귀 관계를 도출한다.
• 초함수 다이로그함수 Li_n^F(t)가 만족하는 미분방정식을 이용하여 단위 인수 근처의 해석적 계속을 가능하게 한다.
• 메린 변환이 리만 제타 함수에 비례하는 '조화 사다리꼴 맵' w(x)를 도입하여 제타 함수를 결정론적 혼돈과 연결한다.
• 프로베누스-페로 전이 연산자와 조각별 적분을 이용하여 가우스 맵과 연속 분수의 연결성을 분석한다.
• 일반화된 허리츠 제타 함수와 레르히 전환함수를 기초 도구로 사용하여 제타, 다이로그함수, 초함수 표현을 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수 계수에서 리만 제타 함수는 초함수의 무한합으로 표현될 수 있는가? 만약 가능하다면, 그 기능적 형태는 무엇인가?
• RQ2 초함수 방법을 통한 해석적 계속을 통해 s = 0 및 s = 1에서 제타 함수의 값은 무엇이며, 기존 값과 어떻게 다를까?
• RQ3 새로운 제타 상수 ζ^F(0) 및 ζ^F(1)는 서로소 정수 튜플의 확률과 어떻게 관련되어 있으며, 이러한 확률은 무엇을 의미하는가?
• RQ4 메린 변환과 연결된 동역학계, 예를 들어 가우스 맵 또는 조화 사다리꼴 맵은 무엇이 있는가?
• RQ5 초함수 다이로그함수의 미분방정식에서 스티어링 수의 제2종 및 제약된 스티어링 수는 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 초함수 계속은 ζ^F(0) = I₀(2) − 1을 도출하며, 여기서 I₀(2)는 제1종 수정 베셀 함수이다. 이는 표준 ζ(0) = −1/2와 다름을 보인다.
• ζ^F(1) = Ei(1) − γ는 지수 적분과 오일러-마스케로니 상수를 포함하며, 표준 ζ(1) = ∞와 대비된다.
• ζ^F(0)의 역수는 약 78.15%이며, 이는 이 새로운 계속을 통해 무작위로 선택한 두 정수가 서로소일 확률로 해석된다.
• ζ^F(1)의 역수는 약 75.88%이며, 이는 초함수 계속을 통해 삼중체의 서로소 확률을 나타낸다.
• 메린 변환이 리만 제타 함수에 비례하는 '조화 사다리꼴 맵' w(x)가 도입되었으며, 이는 제타 함수를 결정론적 혼돈과 연결한다.
• 초함수 다이로그함수 Li_n^F(t)의 미분방정식이 스티어링 수의 제2종 및 그 2-제약된 변형을 포함함을 보여주며, 조합론적 기초를 확립한다.