[논문 리뷰] Two nonrelated Finsler structures on a manifold

Aly A. Tamim, Nabil L. Youssef|ArXiv.org|2006. 08. 21.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 동일한 다양체 위에 정의된 서로 관련이 없는 두 Finsler 구조 $L$과 $L^*$ 사이의 기하학적 관계를 연구한다. 이는 두 구조 간의 사전 연관성을 가정하지 않는다. Cartan 접속의 차이를 나타내는 $/pi$-텐서장 $B$ 를 도입하고, 공통된 지오데식, 자코비 장, 모어스 지수 성질을 가지기 위한 필요 및 충분 조건—특히 $B(\overline{V},\overline{V})=0$—을 유도한다. 주요 기여는 Finsler 다양체를 접속의 차이를 통해 비교하기 위한 전역적이고 좌표에 의존하지 않는 프레임워크를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

In the present paper, we consider two different {\em Finsler} structures $L$ and $L^*$ on the same base manifold $M$, with no relation preassumed between them. \par Introducing the $π$-tensor field representing the difference between the Cartan connections associated with $L$ and $L^*$, we investigate the conditions, to be satisfied by this $π$-tensor field, for the geometric objects associated with $L$ and $L^*$ to have the same properties. Among the items investigated in the paper, we consider the properties of being a geodesic, a Jacobi field, a Berwald manifold, a locally Minkowskian manifold and a Landsberg manifold. \par It should be noticed that our approach is intrinsic, i.e., it does not make use of local coordinate techniques.

연구 동기 및 목표

• 서로 다른 두 Finsler 구조 $L$과 $L^*$가 동일한 다양체 위에 정의되어 있을 때, 이들 사이에 사전에 알려진 관계가 없이도 그 기하학적 관계를 분석하는 것.
• 두 Finsler 다양체가 지오데식, 자코비 장, 공액점 등의 주요 기하 성질을 공유할 수 있는 조건을 규명하는 것.
• 두 개별 Finsler 구조의 Cartan 접속을 비교하기 위해 $\/pi$-텐서장을 활용한 전역적이고 좌표에 의존하지 않는 프레임워크를 개발하는 것.

제안 방법

• 동일한 다양체 위의 두 Finsler 구조 $L$과 $L^*$의 Cartan 접속 간 차이를 나타내는 $\/pi$-텐서장 $B$ 를 도입한다.
• 연결 맵 $K$와 수평상승을 이용하여, 탄성다양체 내 곡선을 따라 정의된 공변미분 연산자 $D/dt$와 $D^*/dt$ 를 정의한다.
• 지오데식 편차와 공액점을 비교하기 위해 $R$, $P$, $Q$ 텐서를 포함한 자코비 방정식과 곡률 항등식을 적용한다.
• 자코비 장과 모어스 지수의 동치성을 보장하기 위한 $B$ 에 대한 조건—예를 들어 $B(\overline{V},\overline{V})=0$—을 도출한다.
• Berwald, 국소 미ン코프스키, 랜즈버그와 같은 특수 Finsler 다양체에 프레임워크를 적용하여, 접속의 차이에 따른 곡률 및 토크이성 텐서의 행동을 분석한다.
• 지역 좌표를 사용하지 않고 전역 텐서 기법을 활용하며, 수직 및 수평 분해를 정의하기 위해 정확한 추이 $0 \to \pi^{-1}(TM) \to T({\cal T}M) \to \pi^{-1}(TM) \to 0$ 에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서로 다른 두 Finsler 구조 $L$과 $L^*$가 동일한 다양체 위에 정의되어 있을 때, 어떤 조건에서 동일한 지오데식을 가질 수 있는가?
• RQ2 두 Finsler 다양체가 동일한 자코비 장과 공액점을 가지기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 $\/pi$-텐서장 $B$ 에 대한 필수 및 충분 조건은 무엇인가? 이 조건이 두 Finsler 다양체가 지오데식을 따라 동일한 모어스 지수를 가지도록 보장한다.
• RQ4 만약 $(M,L)$ 이 Berwald(또는 국소 미ン코프스키, 랜즈버그) 다양체라면, $(M,L^*)$ 가 Berwald(또는 국소 미ン코프스키, 랜즈버그) 다양체가 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 $\/pi$-텐서장 $B$ 가 0이 되면, $L$ 과 $L^*$ 간 기하 성질의 동치성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• $B(\overline{V},\overline{V})=0$ 이 모든 지오데식 $c$ 에 대해 성립한다면, 두 Finsler 다양체 $(M,L)$ 과 $(M,L^*)$ 는 동일한 자코비 장을 가진다.
• $B(\overline{V},\overline{V})=0$ 조건은 두 Finsler 다양체가 지오데식을 따라 동일한 공액점을 가진다는 것을 의미한다.
• 모어스 지수 정리에 따라 $B(\overline{V},\overline{V})=0$ 이면 지오데식의 모어스 지수가 $(M,L)$ 과 $(M,L^*)$ 간에 유지된다.
• $B$ 가 식별적으로 0이면, $(M,L^*)$ 가 Berwald 다양체일 조건은 $(M,L)$ 이 Berwald일 때 $\nabla_{\beta\overline{X}}A = 0$ 이 모든 $\overline{X} \in \mathfrak{X}(\pi(M))$ 에 대해 성립함과 동치이다.
• $B$ 가 0이면, $(M,L^*)$ 가 국소 미ン코프스키 다양체일 조건은 $(M,L)$ 이 국소 미ン코프스키일 때 $\nabla_{\beta\overline{X}}A = 0$ 이 모든 $\overline{X} \in \mathfrak{X}(\pi(M))$ 에 대해 성립함과 동치이다.
• $B$ 가 0이면, $(M,L)$ 이 랜즈버그 다양체일 조건은 $(M,L^*)$ 가 랜즈버그 다양체일 조건과 동치이며, 이는 조건 $P(\overline{X},\overline{Y})\overline{\eta} = 0$ 이 동치이기 때문이다.