[논문 리뷰] Two Parameter Gamma Function and its Properties

Kuldeep Singh Gehlot|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 03.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 1인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 양의 실수 매개변수 p와 k를 포함하여 고전적인 감마, 베타, 포흐하머 함수의 두 매개변수 일반화를 제안한다. 이를 바탕으로 p-k 감마, p-k 베타, p-k 포흐하머 함수를 정의하고, 적분 표현식, 무한곱 형태, 재귀 관계, 함수 항등식을 유도하며 고전 특수함수와의 연결 고리를 설정한다. 주요 기여는 p-k 초함수의 정의와 그 미분 방정식, 적분 표현식, 고전 초함수와의 함수 관계를 규명한 것이다.

ABSTRACT

In this paper we introduce the Two Parameter Gamma Function, Beta Function and Pochhammer Symbol. We named them, as p - k Gamma Function, p - k Beta Function and p - k Pochhammer Symbol and denoted as $_{p}Γ_{k}(x), $ $_{p}B_{k}(x,y) $ and $_{p}(x)_{n,k} $ respectively. We prove the several identities for $_{p}Γ_{k}(x), $ $_{p}B_{k}(x,y) $ and $_{p}(x)_{n,k} $ those satisfied by the classical Gamma, Beta and Pochhammer Symbol. Also we provide the integral representation for the $_{p}Γ_{k}(x) $ and $_{p}B_{k}(x,y) $.

연구 동기 및 목표

• 두 개의 독립된 매개변수 p와 k를 도입하여 고전적인 감마, 베타, 포흐하머 함수를 일반화하기.
• p-k 감마 함수에 대한 적분 표현식과 무한곱 형태를 확립하기.
• p-k 베타 함수와 p-k 파이 함수를 정의하고 그들의 고전 함수와의 함수 관계를 조사하기.
• p-k 초함수를 도입하고 그의 미분 방정식, 적분 표현식, 고전 초함수와의 함수 관계를 유도하기.
• 이중 매개변수 변형 프레임워크를 통해 고전 특수함수 이론을 통합하고 확장하기.

제안 방법

• p-k 포흐하머 기호를 ${}_{p}(x)_{n,k} = \prod_{i=0}^{n-1} \left(\frac{xp}{k} + ip\right)$ 로 정의하며, $x \in \mathbb{C}$, $k,p \in \mathbb{R}^+ \setminus \{0\}$, $\operatorname{Re}(x) > 0$ 조건 하에서 수렴 조건을 설정한다.
• 극한 정의를 통해 p-k 감마 함수를 유도한다: ${}_{p}\Gamma_k(x) = \frac{1}{k} \lim_{n \to \infty} \frac{n! p^{n+1} (np)^{\frac{x}{k} - 1}}{{}_{p}(x)_{n,k}}$.
• 탄너리의 정리를 사용하고 재귀 관계를 적용하여 적분 표현식 ${}_{p}\Gamma_k(x) = \int_0^\infty e^{-\frac{t^k}{p}} t^{x-1} dt$ 를 확립한다.
• p-k 베타 함수를 ${}_{p}B_k(x,y) = \frac{{}_{p}\Gamma_k(x) {}_{p}\Gamma_k(y)}{{}_{p}\Gamma_k(x+y)}$ 로 정의하고, $\frac{1}{k} B(\frac{x}{k}, \frac{y}{k})$ 를 포함한 여러 적분 형태를 도출한다.
• p-k 파이 함수를 로그 미분으로 정의한다: ${}_{p}\psi_k(x) = \frac{d}{dx} \ln \left( {}_{p}\Gamma_k(x) \right)$, 그리고 고전적인 디감마 함수를 이용한 닫힌 형태 표현식을 유도한다.
• p-k 초함수를 $F(a,p,k;b,t,s;x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\prod_{i=1}^r {}_{p_i}(a_i)_{n,k_i}}{\prod_{j=1}^q {}_{t_j}(b_j)_{n,s_j}} \frac{x^n}{n!}$ 로 정의하고, 그의 미분 방정식과 적분 표현식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적인 감마 함수는 두 개의 독립된 매개변수 p와 k를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 p-k 감마 함수의 적분 표현식과 무한곱 전개는 무엇인가?
• RQ3 p-k 베타 함수와 p-k 파이 함수는 그 고전적 대응체와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 p-k 초함수의 미분 방정식과 적분 표현식은 무엇인가?
• RQ5 p-k 초함수와 고전 초함수 사이에 존재하는 기능적 관계는 무엇인가?

주요 결과

• p-k 감마 함수는 ${}_{p}\Gamma_k(x) = \int_0^\infty e^{-\frac{t^k}{p}} t^{x-1} dt$ 의 적분 표현식을 갖는다. 이는 $\operatorname{Re}(x) > 0$ 인 조건에서 유효하다.
• p-k 베타 함수는 ${}_{p}B_k(x,y) = \frac{1}{k} B(\frac{x}{k}, \frac{y}{k})$ 를 만족하며, 이는 고전 베타 함수와 직접 연결된다.
• p-k 파이 함수는 ${}_{p}\psi_k(x) = \frac{\ln p}{k} + \psi(\frac{x}{k})$ 로 주어지며, 여기서 $\psi$ 는 고전적인 디감마 함수이다.
• p-k 감마 함수의 로그의 r차 미분은 $\frac{d^{r-1}}{dx^{r-1}} {}_{p}\psi_k(x) = (-1)^r k (r-1)! \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(x + nk)^r}$ 를 만족하며, 이는 $r \geq 2$ 인 경우에 성립한다.
• p-k 초함수는 미분 방정식 $[\theta \prod_{j=1}^q (\theta + \frac{b_j}{s_j} - 1) - A x \prod_{i=1}^r (\theta + \frac{a_i}{k_i})] W = 0$ 을 만족한다. 여기서 $\theta = x \frac{d}{dx}$ 이고 $A = \frac{\prod p_i}{\prod t_j}$ 이다.
• p-k 초함수는 고전 초함수와의 기능적 관계를 가진다: $F(a,p,k;b,t,s;x) = F(\frac{a}{k}; \frac{b}{s}; \frac{\prod p_i}{\prod t_j} x)$.