[논문 리뷰] Two recursive GMRES-type methods for shifted linear systems with general preconditioning

Kirk M. Soodhalter|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 18.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 26인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 오른쪽 조건부 조건을 갖는 시퀀스 형태의 이동된 선형 시스템을 해결하기 위해 두 가지 재귀적 크릴로프 부분공간 방법—이동된 GMRES 및 이동된 재사용 GMRES—을 제안한다. 기저 시스템에 의해 생성된 크릴로프 부분공간에 이동된 잔여항을 투영하여, 추가 비용을 최소화하면서 다수의 이동된 시스템을 효율적으로 해결한다. 이는 특히 탄성적이고 비정확한 조건부 조건을 사용할 때에도 경쟁력 있는 성능과 안정적인 추가 이동에 대한 마진 비용을 보여준다.

ABSTRACT

We present two minimum residual methods for solving sequences of shifted linear systems, the right-preconditioned shifted GMRES and shifted recycled GMRES algorithms which use a seed projection strategy often employed to solve multiple related problems. These methods are compatible with general preconditioning of all systems, and when restricted to right preconditioning, require no extra applications of the operator or preconditioner. These seed projection methods perform a minimum residual iteration for the base system while improving the approximations for the shifted systems at little additional cost. The iteration continues until the base system approximation is of satisfactory quality. The method is then recursively called for the remaining unconverged systems. We present both methods inside of a general framework which allows these techniques to be extended to the setting of flexible preconditioning and inexact Krylov methods. We present some analysis of such methods and numerical experiments demonstrating the effectiveness of the algorithms we have derived.

연구 동기 및 목표

• 계수 행렬이 스칼라 이동만 다를 경우에 다수의 이동된 선형 시스템을 효율적으로 해결하는 데 도전하는 문제를 해결한다.
• 일반적인 조건부 조건과 호환되지 않거나 이동에 대한 크릴로프 부분공간의 불변성에 의존하는 기존 방법의 한계를 극복한다.
• 기저 시스템으로부터 생성된 부분공간을 사용하여 이동된 시스템에 대해 최소 잔여항 투영을 가능하게 하는 프레임워크를 개발하며, 일반적인 오른쪽 조건부 조건과의 호환성을 보장한다.
• 수렴성을 향상시키기 위해 증강된 크릴로프 부분공간 방법(예: 재사용 GMRES)으로 이 방법을 확장하여, 점차 변화하는 행렬을 갖는 시스템의 시퀀스에 적용한다.
• 탄성적이고 비정확한 크릴로프 방법과의 호환성을 확보하여 실세계 문제인 격자 QCD와 티호노프 정규화에까지 적용 범위를 넓힌다.

제안 방법

• 기저 시스템의 최소 잔여항 해법 과정에서 생성된 크릴로프 부분공간에 이동된 잔여항을 투영하는 일반적인 프레임워크를 제안한다.
• 기저 시스템의 크릴로프 부분공간을 활용하여 이동된 시스템의 잔여항을 저비용으로 최소화하는 재귀적 방법으로 이동된 GMRES를 유도한다.
• 프레임워크를 이동된 재사용 GMRES로 확장하여, 조화 Ritz 벡터 재사용을 통합함으로써 시퀀스 형태의 시스템에 대한 수렴 속도를 향상시킨다.
• 시드 투영 전략을 사용하여 이동 간에 크릴로프 부분공간을 재사용함으로써 중복된 행렬-벡터 곱셈과 저장소 비용을 최소화한다.
• 크릴로프 부분공간의 이동 불변성에 대한 가정 없이 일반적인 오른쪽 조건부 조건과의 호환성을 확보한다.
• 탄성적이고 비정확한 크릴로프 솔버에 통합하여, 변동 가능한 조건부 조건 또는 비정확한 행렬-벡터 곱셈을 갖는 문제에 적용 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 오른쪽 조건부 조건과 호환되면서도 다수의 이동된 선형 시스템을 효율적으로 해결할 수 있는 재귀적 최소 잔여항 방법을 설계할 수 있는가?
• RQ2 제안된 재귀적 프레임워크를 사용할 때 각 추가 이동된 시스템을 해결하는 데 드는 마진 비용은 얼마인가?
• RQ3 이동된 재사용 GMRES 방법의 수렴성과 안정성은 표준 재사용 GMRES와 비교해 볼 때 다양한 이동 크기에서 어떻게 다른가?
• RQ4 이 프레임워크는 탄성적이고 비정확한 크릴로프 부분공간 방법으로 얼마나 넓게 확장될 수 있는가?
• RQ5 이 방법은 큰 크기 또는 작은 크기의 이동 분포에 걸쳐도 효과를 유지하는가?

주요 결과

• 이동된 GMRES 및 이동된 재사용 GMRES 방법은 경쟁적인 성능을 보이며, 특히 더 많은 수의 이동이 있을 경우 이동된 재사용 GMRES가 더 뛰어난 마진 비용 안정성을 보인다.
• 이동 범위 [0,1] 내에서, 이동된 재사용 GMRES는 표준 재사용 GMRES보다 추가 이동 시스템당 마진 비용이 감소하고 더 낮게 유지된다.
• 이동 범위 [1,10] 내에서, 표준 재사용 GMRES는 마진 비용이 증가하지만, 이동된 재사용 GMRES는 비용이 수렴하여 안정화되며, 이는 향상된 확장성 잠재력을 보여준다.
• 큰 QCD 행렬에 대한 수치 실험 결과, 이동된 시스템의 잔여항 개선 정도는 이동 크기와 상관관계가 있으며, 조건이 좋은 시스템(더 큰 σ)은 더 빨리 수렴하지만, 랑츠-갈레르킨 투영의 효과는 감소한다.
• 프레임워크는 탄성적이고 비정확한 크릴로프 방법과 완전히 호환되며, 변동 가능한 조건부 조건을 갖는 실세계 문제에 대한 적용 범위를 넓힌다.
• 오른쪽 조건부 조건을 사용할 경우, 기저 시스템 반복 이외에 추가적인 행렬-벡터 곱셈이 필요 없으며, 이는 계산적으로 효율적이다.