[논문 리뷰] Two robust nonconforming H$^2-$elements for linear strain gradient elasticity

Hongliang Li, Pingbing Ming외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 07.

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 선형 변형률 기울기 탄성에서 편미분 매개변수에 대해 에너지 노름에서 최적 수렴성을 균일하게 유지하도록 설계된 두 개의 강건한 비일치 H²-유한요소를 제안한다. 이 요소들은 H¹-일치이지만 H²-비일치이며, 이들의 수렴성은 이산 H²-Korn 부등식을 통해 확립되어, 미세구조 매개변수가 0으로 갈수록에도 강건성과 최적 수렴 속도를 보장한다.

ABSTRACT

We propose two nonconforming finite elements to approximate a boundary value problem arising from strain gradient elasticity, which is a higher-order perturbation of the linearized elastic system. Our elements are H$^2-$nonconforming while H$^1-$conforming. We show both elements converges in the energy norm uniformly with respect to the perturbation parameter.

연구 동기 및 목표

• 선형 변형률 기울기 탄성에서 작은 외란 매개변수에 대해 강건한 유한요소 방법을 개발하기 위해.
• C¹ 요소에서 흔히 볼 수 있는 높은 자유도를 피하기 위해 H²-비일치이지만 H¹-일치인 유한요소를 구성하기 위해.
• 비일치 근사의 안정성과 수렴성을 보장하기 위해 이산 H²-Korn 부등식을 확립하기 위해.
• 메쉬 크기와 무관하게 미세구조 매개변수에 대해 에너지 노름에서 수렴성이 균일하도록 보장하기 위해.
• 균일 및 비균일 메쉬에서의 수치 실험을 통해 이론적 결과를 검증하기 위해.

제안 방법

• 저자는 비일치 근사의 안정성을 보장하기 위해 Brenner의 H¹-Korn 부등식과 유사한, 조각별 벡터장에 대한 새로운 이산 H²-Korn 부등식을 도입한다.
• 이 이산 부등식을 기반으로 두 개의 비일치 H²-유한요소를 구성하며, 이는 기울기와 변형률의 약한 연속성을 강제하는 국소 자유도를 사용한다.
• 이 요소들은 H¹-일치이므로 이동장의 연속성을 만족하지만, 기울기의 C¹ 연속성은 보장하지 않아서, 일치 H² 요소에 비해 자유도를 감소시킨다.
• 수렴 분석은 이산 H²-Korn 부등식과 외란 매개변수에 대해 균일한 강력성에 기반한다.
• 비균일 메쉬에서 다양한 미세구조 매개변수 값을 사용하여 수렴성과 강건성을 테스트하기 위해 수치 실험을 수행한다.
• 다양한 매개변수 영역에서 최적 수렴 속도를 보여주는 수렴 표를 통해 방법의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 변형률 기울기 탄성에 대해, 외란 매개변수가 0으로 갈수록에도 강건성이 유지되는 비일치 유한요소를 구성할 수 있는가?
• RQ2 비일치 H²-유한요소의 수렴성을 보장하기 위해 필요한 이산 안정성 조건은 무엇인가?
• RQ3 제안된 요소들이 미세구조 매개변수에 대해 에너지 노름에서 최적 수렴 속도를 균일하게 달성하는가?
• RQ4 비균일 메쉬에서 및 다양한 매개변수 값에 대해 수렴 속도는 어떻게 행동하는가?
• RQ5 이산 H²-Korn 부등식은 이 고차원 문제에서 비일치 근사에 대해 균일 수렴성을 보장하는 데 충분한가?

주요 결과

• 제안된 비일치 H²-유한요소는 외란 매개변수에 대해 에너지 노름에서 균일하게 수렴하며, 최적 수렴 속도를 보인다.
• 수치 실험 결과, 메쉬가 세밀해질수록 두 요소 모두 수렴 속도가 약 1.98~1.99에 수렴하여 에너지 노름에서 2차 수렴을 나타낸다.
• 첫 번째 요소의 경우, 테스트된 모든 매개변수 값(1e-5에서 1e0)에서 약 1.96~1.99의 수렴 속도를 기록하여 균일한 강건성을 확인한다.
• 두 번째 요소의 경우 동일한 조건에서 1.96~1.99의 수렴 속도를 달성하여 매개변수 범위 전체에서 균일한 수렴을 보여준다.
• 이산 H²-Korn 부등식은 성공적으로 확립되었으며, 균일 수렴성과 안정성의 증명에 기초가 되었다.
• 비균일 메쉬에서도 최적 수렴 속도를 유지함으로써, 실용적인 적응형 설정에서의 강건성을 확인한다.