[논문 리뷰] Two-Scale Approach to an Asymptotic Solution of Maxwell Equations in Layered Periodic Media

Maria V. Perel, Mikhail S. Sidorenko|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 31.

Photonic Crystals and Applications참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 삼차원 다층 주기적 매질에서 분산 표면의 정상점 근처에서 맥스웰 방정식을 해결하기 위해 이중 척도 점근적 방법을 개발한다. 이는 주로 두 개의 천천히 변화하는 진폭을 가진 플루케-블로흐 모드로 구성된 주요 해를 보여주며, 이 진폭은 정상점의 성격에 따라 쌍곡형 또는 타원형 방정식을 만족한다. 이는 국소화되거나 왜곡되지 않은 파동 비임을 기술할 수 있게 한다.

ABSTRACT

An asymptotic investigation of monochromatic electromagnetic fields in a layered periodic medium is carried out under the assumption that the wave frequency is close to the frequency of a stationary point of the dispersion surface. We find solutions of Maxwell equations by the method of two-scale asymptotic expansions. We establish that the principal order of the expansion of a solution dependent on three spatial coordinates is the sum of two differently polarized Floquet-Bloch solutions, each of which is multiplied by a slowly varying envelope function. We derive that the envelope functions satisfy a system of differential equations with constant coefficients. In new variables, it is reduced to a system of two independent equations, both of them are either hyperbolic or elliptic, depending on the type of the stationary point. The envelope functions are independent only in the planar case. Some consequences are discussed.

연구 동기 및 목표

• 삼차원 다층 주기적 매질에서 분산 표면의 정상점 근처의 단색 전자기장에 대한 수학적 분석을 수행한다.
• 비산발산형 방정식에 적용 가능한 행렬 형태의 맥스웰 방정식에 대해 이중 척도 점근적 방법을 확장한다.
• 플루케-블로흐 모드의 느린 조절을 지배하는 진폭 함수를 위한 미분방정식계를 유도한다.
• 분산 표면의 정상점의 성격에 따라 진폭 방정식의 성격(쌍곡형 또는 타원형)을 특성화한다.
• 진폭 함수가 상호 독립적이며, 해가 요구되는 함수 공간에 속하게 되는 조건을 확립한다.

제안 방법

• 빠른(주기적) 및 느린(거시적) 공간 변수를 도입하여 이중 척도 점근적 전개 방법을 적용한다.
• 펠센과 마르쿠비츠가 제안한 바와 같이 맥스웰 방정식을 행렬 형태로 표현하여 체계적인 점근적 분석을 가능하게 한다.
• 해를 두 개의 플루케-블로흐 모드의 합으로 분해하며, 각각은 천천히 변화하는 진폭 함수에 의해 조절된다.
• 점근 전개에서 항을 일치시켜 진폭 함수에 대한 상수 계수를 가진 미분방정식계를 유도한다.
• 분산 표면의 정상점에서의 곡률에 따라 시스템을 두 개의 독립적인 방정식—쌍곡형 또는 타원형—으로 변환한다.
• 함수해석학적 기법과 대칭성 논리를 활용하여 해의 존재성과 연속성을 보장하며, 특히 특수해의 주기적 경계에서의 점프를 동차 플루케-블로흐 해를 통해 상쇄시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 비산발산형 방정식에 대해 다층 주기적 매질의 맥스웰 방정식에 대해 이중 척도 점근적 방법을 적응시킬 수 있는가?
• RQ2 삼차원에서 분산 표면의 정상점 근처에서 맥스웰 방정식의 주요 해의 구조는 어떠한가?
• RQ3 두 편광된 플루케-블로흐 모드의 진폭 함수가 독립적인 쌍곡형 또는 타원형 방정식으로 분리되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 특수해가 주기적 경계에서 점프를 보일 경우, 해를 어떻게 구성하여 연속성과 요구되는 함수 공간에 속하게 할 수 있는가?
• RQ5 효과적인 진폭 기술에서 파동 역학이 쌍곡형(파동 유사)인지 타원형(국소화)인지 결정하는 요소는 무엇인가?

주요 결과

• 주요 해는 서로 다른 편광도를 가진 두 개의 플루케-블로흐 모드의 초위상으로 이루어지며, 각각 천천히 변화하는 진폭 함수에 의해 조절된다.
• 진폭 함수는 상수 계수를 가진 미분방정식계를 만족하며, 이는 두 개의 독립적인 방정식으로 분리된다.
• 진폭 방정식의 성격—쌍곡형 또는 타원형—은 분산 표면의 정상점의 성격에 의해 결정된다.
• 진폭 함수는 평면의 경우에만 상호 독립적이며, 이 경우 파동수 의존성이 단순화된다.
• 특수해의 경계 점프를 동차 플루케-블로흐 해의 계수 조정을 통해 상쇄시킴으로써 해를 주기 전에 연속적으로 유지할 수 있다.
• 이 방법은 이전의 수치적 및 물리적 연구들과 일치하는 왜곡되지 않은 비임 전파의 존재를 수학적으로 엄밀하게 확인하며, 3차원에서의 엄밀한 수학적 근거를 제공한다.