[논문 리뷰] Two Schemes for Fractional Diffusion and Diffusion-Wave Equations with Nonsmooth Data

Bangti Jin, Raytcho Lazarov외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 15.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 24인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 공간에서(piecewise linear Galerkin finite elements)와 시간에서(역행성 유한차분 또는 두 번째 차수 역행성 차분을 사용한 convolution quadrature) 완전 이산화된 두 가지 방법을 제안한다. 이는 비연속적인 초기 자료를 가진 분수차수 초분산 및 확산파 방정식을 대상으로 하며, 해가 고전적인 미분 가능성 조건을 만족하지 못하는 경우에도 각각 시간에 대해 최적의 수렴 속도 1차 및 2차를 달성한다. 이는 엄밀한 오차 추정과 수치 실험을 통해 검증되었다.

ABSTRACT

We consider the initial/boundary value problem for the fractional diffusion and diffusion-wave equations involving a Caputo fractional derivative in time. We develop two "simple" fully discrete schemes based on the Galerkin finite element method in space and convolution quadrature in time with the generating function given by the implicit backward Euler method/second-order backward difference method, and establish error estimates optimal with respect to the regularity of the initial data. These two schemes are first and second-order accurate in time for nonsmooth initial data. Extensive numerical experiments for one and two-dimensional problems confirm the convergence analysis. A detailed comparison with several popular time stepping schemes is also performed. The numerical results indicate that the proposed fully discrete schemes are accurate and robust for nonsmooth data, and competitive with existing schemes.

연구 동기 및 목표

• 비연속적인 초기 자료를 가진 분수차수 초분산 및 확산파 방정식을 위한 강건한 수치적 방법을 개발한다.
• 기존 방법들이 해의 높은 시간 정규성 조건을 요구하는 한계를 극복한다.
• 해가 $ C^2 $ 또는 $ C^3 $ 가 아니어도 유효한 최적의 오차 추정을 수립한다.
• 해가 부드럽거나 비연속일 경우 모두 안정성과 수렴성을 확보한다.
• 광범위한 이차원 수치 실험을 통해 이론적 결과를 검증한다.

제안 방법

• 공간 이산화는 볼록 다각형 영역에서의(piecewise linear Galerkin finite element 방법)을 사용한다.
• 시간 이산화에는 역행성 유한차분 또는 두 번째 차수 역행성 차분 기반의 convolution quadrature를 적용한다.
• convolution quadrature의 생성 함수는 기초 시간 스텝 방법에서 유도되며, 안정성과 정확성을 보장한다.
• 이 방법들은 공간 반이산화와 시간 적분 기법을 조합한 완전 이산화 방법이다.
• 오차 추정은 라플라스 연산자의 스펙트럼 성질과 가중 시간 공간에서의 해의 정규성 분석을 통해 유도된다.
• 해당 분석은 초기 자료가 $ L^2(\bar{\Omega}) $ 및 $ H^1_0(\bar{\Omega}) $ 에 속할 경우의 동차 및 비동차 문제를 모두 고려한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해가 고전적인 미분 가능성 조건을 만족하지 못할 경우, 분수차수 초분산 및 확산파 방정식에서 최적의 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 역행성 유한차분 및 두 번째 차수 역행성 차분 기반의 convolution quadrature 방법은 비연속 자료에서 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ3 자료의 정규성은 완전 이산화 유한요소 방법의 수렴 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 해의 정규성에 의존하지 않고, 오직 자료의 정규성에만 기반한 오차 추정을 유도할 수 있는가?
• RQ5 $ L^2 $ 초기 자료 및 $ H^1 $ 초기 조건을 포함한 다양한 자료 유형에 대해 이 방법들이 얼마나 강건한가?

주요 결과

• 역행성 유한차분 기반의 1차 방법은 부드럽고 비연속 자료 모두에 대해 시간에 대해 최적의 $ O(\tau) $ 수렴을 달성한다.
• 두 번째 차수 역행성 차분 방법 기반의 2차 방법은 부드럽고 비연속 자료 모두에 대해 최적의 $ O(\tau^2) $ 수렴을 달성한다.
• 오차 한계는 자료의 정규성에 따라 유도되었으며, 해의 $ C^2 $ 또는 $ C^3 $ 정규성 조건이 필요하지 않다.
• 해가 $ t=0 $ 근처에서 특이 행동을 보일지라도, $ v \in L^2(\Omega) $ 및 $ b \in L^2(\Omega) $ 인 경우에 안정적이고 강건하다.
• 이차원 수치 실험을 통해 이론적 수렴 속도와 다양한 자료 정규성에 대한 강건성이 확인되었다.
• 이론적 추정은 해의 시간 정규성이 자료의 정규성에 의해 제어됨을 보여주며, $ m=1,2 $ 에 대해 $ \|\partial_t^m u\|_{L^2(\Omega)} \leq c t^{\alpha - m} \|f\|_{W^{m-1,\infty}(0,T;L^2(\Omega))} $ 를 만족한다.