[논문 리뷰] Two species nonlocal diffusion systems with free boundaries

Yihong Du, Mingxin Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 10.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 17인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 장거리 산산분포를 통해 인구 확산을 모델링하는 자유 경계를 가진 이종 비국소 확산 시스템을 연구한다. 해의 전역 존재성과 유일성을 확립하고, 퍼짐-소멸 이분법을 증명하며, 퍼짐과 소멸에 대한 정밀한 조건을 유도한다; 약한 경쟁 및 약한 포식 조건 하에서, 인구의 장기적 점근적 행동을 규명하여 모델 매개변수에 의해 결정되는 특정 평형 수준로 수렴함을 보여준다.

ABSTRACT

We study a class of free boundary systems with nonlocal diffusion, which are natural extensions of the corresponding free boundary problems of reaction diffusion systems. As before the free boundary represents the spreading front of the species, but here the population dispersal is described by "nonlocal diffusion" instead of "local diffusion". We prove that such a nonlocal diffusion problem with free boundary has a unique global solution, and for models with Lotka-Volterra type competition or predator-prey growth terms, we show that a spreading-vanishing dichotomy holds, and obtain criteria for spreading and vanishing; moreover, for the weak competition case and for the weak predation case, we can determine the long-time asymptotic limit of the solution when spreading happens. Compared with the single species free boundary model with nonlocal diffusion considered recently in \cite{CDLL}, and the two species cases with local diffusion extensively studied in the literature, the situation considered in this paper involves several extra difficulties, which are overcome by the use of some new techniques.

연구 동기 및 목표

• 단일 종 모델에서 자유 경계를 가진 비국소 확산 모델을 이종 시스템으로 확장하여 공유되는 확산 전면을 갖는 모델을 제안한다.
• 비국소 산산분포 하에서 상호작용하는 두 종의 장기적 행동을 분석하며, 특히 경쟁 및 천적-피식자 시나리오를 고려한다.
• 자유 경계 문제에 대한 비국소 확산의 해의 존재성, 유일성 및 전역 적합성(전역 잘 정의됨)을 확립한다.
• 종의 퍼짐과 소멸을 구분하는 충분한 조건을 도출하고, 퍼짐이 발생할 경우의 점근적 프로파일을 특성화한다.
• 반복적 경계와 안정성 분석을 사용하여 약한 경쟁 및 약한 포식 조건에서 인구 밀도의 장기적 극한을 규명한다.

제안 방법

• 모델은 장거리 산산분포를 포괄하기 위해 국소 확산을 대체하는 비국소 확산 연산자 $ d_i \int J_i(x-y)u_i(t,y)dy - d_i u_i $ 를 사용한다.
• 자유 경계 $ g(t) $ 와 $ h(t) $ 는 각 종의 외부 유량에 따라 진화하며, 비율은 $ \mu_i \int_{g(t)}^{h(t)} \int_{h(t)}^\infty J_i(x-y)u_i(t,x) dy dx $ 에 비례한다.
• 모델 매개변수를 바탕으로 하는 재귀 수열을 사용하는 새로운 반복적 경계 기법을 개발하여 시간에 따라 인구 밀도의 상한 및 하한을 제어한다.
• 비교 원리와 사전 추정을 기반으로 퍼짐-소멸 이분법과 장기 수렴성을 확립한다.
• 약한 경쟁 및 약한 포식 조건에서, 상호 포함되는 상한 및 하한 수열을 구성하여 평형 값으로 수렴한다.
• 이론적 도구로는 성장 함수의 국소 리프시츠 연속성, 커널의 정규성(J), 그리고 진화 방정식 내 비국소 적분 항의 정밀한 다루기가 포함된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 경계를 가진 이종 비국소 확산 시스템에서 퍼짐-소멸 이분법이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 비국소 산산분포가 존재하는 조건에서 두 종이 장기적으로 퍼지거나 소멸하는지를 결정하는 기준은 무엇인가?
• RQ3 약한 경쟁 조건에서 두 종의 장기적 점근적 프로파일은 어떻게 행동하며, 그 한계 인구 밀도는 무엇인가?
• RQ4 약한 포식 조건에서 시스템의 장기적 행동은 어떠한가? 그리고 인구는 안정적 공존 상태로 수렴하는가?
• RQ5 비국소 산산분포 커널과 공유되는 자유 경계는 국소 확산 모델과 비교해 시스템 역학에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 에너지 추정과 비교 기법을 통해 모든 시간에 대해 유일한 전역 해가 존재함을 입증하였다.
• 퍼짐-소멸 이분법이 성립한다: 두 종 모두 무한히 퍼지거나, 둘 다 소멸하며, 중간 상태는 존재하지 않는다.
• 약한 경쟁 조건에서 $ u_1 $ 과 $ u_2 $ 의 장기적 극한은 각각 $ \frac{a_1b_2 - a_2c_1}{b_1b_2 - c_1c_2} $ 과 $ \frac{a_2b_1 - a_1c_2}{b_1b_2 - c_1c_2} $ 로 수렴하며, $ \mathbb{R} $ 에서 국소 균일하게 수렴한다.
• 약한 포식 조건에서 $ u_1 $ 과 $ u_2 $ 의 장기적 극한은 각각 $ \frac{a_1b_2 - a_2c_1}{b_1b_2 + c_1c_2} $ 과 $ \frac{a_1c_2 + a_2b_1}{b_1b_2 + c_1c_2} $ 로 수렴하며, $ \mathbb{R} $ 에서 국소 균일하게 수렴한다.
• 수렴은 평형 값으로 단조 수렴하는 반복적 경계 수열을 통해 확립되었다.
• 결과는 단일 종 비국소 자유 경계 모델을 일반화하며, 공유되는 확산 전면을 갖는 비국소 산산분포로 고전적 이종 국소 확산 시스템을 확장한다.