[논문 리뷰] Two Squares of Opposition: for Analytic and Synthetic Propositions

Andrew Schumann|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 05.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비아리스토텔레스적이고 합성적인 판단을 위한 새로운 합성 대비의 정사각형을 제안한다. 이는 분석적 판단에 사용되는 고전적 정사각형과는 다름. 비아르키메데스 모델로 부울 대수를 확장하여, 두 가지 다른 대비의 정사각형이 존재한다는 것을 증명한다: 하나는 분석적 판단을 위한 전통적인 정사각형이고, 다른 하나는 합성적 판단을 위한 비전통적인 정사각형이다. 이 경우, 대우, 모순, 반대, 하위관계 등의 관계는 진리값의 대수적 순서에 기반하여 재정의되며, '모든 물체는 무겁다'와 같은 합성 판단에 정사각형을 적용하는 데 오랫동안 지속된 문제를 해결한다.

ABSTRACT

In the paper I prove that there are two squares of opposition. The unconventional one is built up for synthetic propositions. There a, i are contrary, a, o (resp. e, i) are contradictory, e, o are subcontrary, a, e (resp. i, o) are said to stand in the subalternation.

연구 동기 및 목표

• 카ント와 릭거트가 지적한 바와 같이, 고전적 정사각형이 합성 판단에 적용되지 못하는 오랫동안 지속된 문제를 해결하기 위해.
• 분석적 판단처럼 포함 관계가 없어 벤 다이어그램으로 분석할 수 없는 합성 판단이 여전히 일관된 논리적 구조를 지닌다는 것을 보여주기 위해.
• 비아르키메데스 확장 부울 대수를 사용하여 고전적 정사각형과는 다름의 두 번째 정사각형을 형식화하기 위해.
• 진리 조건과 논리적 관계를 대수적 모델에서 정의하여 합성 연역법의 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 논문은 부울 대수 $B$ 에 별표 연산 $^*$ 를 추가하여 비아르키메데스 모델 $\mathfrak{M}_B$ 를 구성하며, 진리값을 동치류 $[f]$, $[f\neg]$, $\neg[f]$, $\neg[f\neg]$ 로 정의한다.
• 이 동치류 위에서 부정($\neg[f] = {}^*1 - [f]$), 합($[x] \wedge [y] = \inf([x], [y])$), 그리고 여부($[x] \vee [y] = \sup([x], [y])$) 등의 논리 연산을 정의한다.
• 진리값 동치류 간의 여덟 가지 가능한 순서를 분석하여, 정사각형의 관계를 만족하는 두 가지 다른 구성(configuration)를 식별한다: 하나는 전통적이고, 다른 하나는 합성적이다.
• 전통적 정사각형은 $[f\neg] \leq \neg[f]$ 를 만족할 때 적용되며, 표준 대비 관계를 유지한다: 대우($[f], [f\neg]$), 모순($[f], \neg[f]$), 반대($\neg[f\neg], \neg[f]$), 하위관계($[f], \neg[f\neg]$).
• 합성 정사각형은 $\neg[f\neg] \leq \neg[f]$ 를 만족할 때 발생하며, 관계를 재정의한다: 대우($[f], \neg[f\neg]$), 모순($[f], \neg[f]$), 반대($\neg[f], [f\neg]$), 하위관계($[f], [f\neg]$).
• 비아르키메데스 연역 모델 $\mathfrak{B}$ 가 정의되며, 원자적 연역 공식이 $\mathfrak{M}_B$ 의 진리값에 맵핑되며, 이들의 진리 조건은 이러한 값 위에서의 부울 연산을 통해 주어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분석적 판단처럼 포함 관계가 없어 벤 다이어그램으로 표현할 수 없는 합성 판단에 대해 일관된 정사각형을 구성할 수 있는가?
• RQ2 분석적 판단과 비교할 때 합성 판단의 논리적 구조는 대비 관계 측면에서 어떻게 다를까?
• RQ3 분석적 판단과 합성적 판단을 위한 두 가지 다른 정사각형이 존재할 수 있는 대수적 프레임워크는 무엇인가?
• RQ4 합성 판단의 진리값은 비아르키메데스 모델에서 어떻게 형식적으로 정의되고 논리적 연산을 통해 어떻게 관련지어질 수 있는가?
• RQ5 부울 대수와 그 $^*$-연산을 통한 확장은 전통적 및 합성 정사각형을 모델링하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 비아르키메데스 모델 $\mathfrak{M}_B$ 에서 정확히 두 개의 정사각형이 존재한다: 진리값 동치류의 순서에 따라 전통적 정사각형과 합성 정사각형이다.
• 전통적 정사각형은 $[f\neg] \leq \neg[f]$ 를 만족할 때 적용되며, 표준 대비 관계를 유지한다: $[f]$ 와 $[f\neg]$ 는 대우 관계에 있으며, $[f]$ 와 $\neg[f]$ 는 모순 관계에 있으며, $\neg[f\neg]$ 와 $\neg[f]$ 는 반대 관계에 있으며, $[f]$ 와 $\neg[f\neg]$ 는 하위관계에 있다.
• 합성 정사각형은 $\neg[f\neg] \leq \neg[f]$ 를 만족할 때 적용되며, 관계를 재정의한다: $[f]$ 와 $\neg[f\neg]$ 는 대우 관계에 있으며, $[f]$ 와 $\neg[f]$ 는 모순 관계에 있으며, $\neg[f]$ 와 $[f\neg]$ 는 반대 관계에 있으며, $[f]$ 와 $[f\neg]$ 는 하위관계에 있다.
• 이 모델은 '모든 물체는 중량이 있다'와 같은 합성 판단이 벤 다이어그램에서 포함 관계를 갖지 않더라도 여전히 합성 정사각형을 통해 체계적으로 분석될 수 있음을 검증한다.
• 논문은 합성 연역법이 비아르키메데스 연역 모델 $\mathfrak{B}$ 를 통해 형식화될 수 있음을 확립한다. 여기서 원자적 공식은 $\mathfrak{M}_B$ 의 진리값에 맵핑되며, 복합 공식의 의미는 부울 연산을 통해 정의된다.
• 증명은 주어진 가정 하에 정확히 두 개의 정사각형이 존재하며, 합성 정사각형은 조건 $\neg[f\neg] \leq \neg[f]$ 에 의해 유일하게 정의됨을 확인한다.