[논문 리뷰] Two stock options at the races: Black-Scholes forecasts

Gleb Oshanin, Grégory Schehr|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 11.

Complex Systems and Time Series Analysis참고 문헌 23인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 동일한 확률적 역학을 따르는 두 개의 동일한 블랙-숄즈 옵션—유럽형 및 아시안형—에서 상대 자산 비중의 분포를 조사한다. 놀랍게도, 유럽형 옵션의 경우, 만기 시점이 임계 임계값을 초과함에 따라 상대 비중 $ w = S_T^{(1)}/(S_T^{(1)} + S_T^{(2)}) $의 확률 밀도 함수는 단모형(최빈값이 1/2)에서 이모형(최빈값이 0과 1)으로 전이되며, 이는 $ w = 1/2 $가 가장 확률이 낮은 값이 되게 하며, 동일한 기초 과정에도 불구하고 자발적인 대칭성 파괴를 나타낸다.

ABSTRACT

Suppose one buys two very similar stocks and is curious about how much, after some time T, one of them will contribute to the overall asset, expecting, of course, that it should be around 1/2 of the sum. Here we examine this question within the classical Black and Scholes (BS) model, focusing on the evolution of the probability density function P(w) of a random variable w = a_T^{(1)}/(a_T^{(1)} + a_T^{(2)}) where a_T^{(1)} and a_T^{(2)} are the values of two (either European- or the Asian-style) options produced by two absolutely identical BS stochastic equations. We show that within the realm of the BS model the behavior of P(w) is surprisingly different from common-sense-based expectations. For the European-style options P(w) always undergoes a transition, (when T approaches a certain threshold value), from a unimodal to a bimodal form with the most probable values being close to 0 and 1, and, strikingly, w =1/2 being the least probable value. This signifies that the symmetry between two options spontaneously breaks and just one of them completely dominates the sum. For path-dependent Asian-style options we observe the same anomalous behavior, but only for a certain range of parameters. Outside of this range, P(w) is always a bell-shaped function with a maximum at w = 1/2.

연구 동기 및 목표

• 블랙-숄즈 모델 하에서 두 동일한 유럽형 옵션에 대해 상대 비중 $ w = S_T^{(1)}/(S_T^{(1)} + S_T^{(2)}) $ 의 통계적 행동을 조사하기.
• 경로 의존적인 아시안형 옵션의 상대 자산 기여도 분포에서 유사한 이례적 행동이 나타나는지 검토하기.
• 상대 비중 $ w $ 의 분포가 단모형에서 이모형으로 전이되는 조건을 규명하여 일반적인 대칭성 기대에 도전하기.
• 유럽형 및 아시안형 옵션의 경우 상대 비중의 확률 밀도 함수에 대한 정확한 및 근사 해석적 표현을 유도하기.
• 두 자산 시스템에서 상대 비중 분포를 형성하는 데 있어 브라운 운동 증분 간 상관관계의 역할 탐색하기.

제안 방법

• 이토 미적분과 로짓-노멀 분포를 사용하여 유럽형 옵션에 대한 정확한 확률 밀도 함수 $ P(W) $ 를 유도하며, 이는 효과적 만기 $ \alpha_T = \sigma^2 T / 2 $ 로 표현된다.
• 포커-플랑크 방정식과 경로 적분 기법을 적용하여 두 상관관계가 있는 브라운 운동의 공동 분포를 옵션 비중 역학의 맥락에서 분석한다.
• 특수 함수인 통합 초기함수 $ U(a,b,z) $ 를 사용하여 아시안형 옵션의 분포 $ \Psi(\tau) $ 의 점근적 형태를 큰 $ \alpha_T $ 의 근사에서 표현한다.
• 수치적 통합과 비교를 수행하여 $ \Psi(\tau) $ 의 해석적 근사가 타당함을 검증하며, 특히 $ \mu = -1 $ 과 $ \alpha_T = 20, 30, 50 $ 의 경우에 초점을 맞춘다.
• 상관관계가 있는 증분 $ dB_t^{(1)} $ 과 $ dB_t^{(2)} $ 를 모델링하기 위해 이산 시간 랜덤 워크 근사를 도입하여 $ W $ 의 생성 함수를 도출한다.
• 적분 항등식 $ \frac{\exp(-u^2/2A)}{\sqrt{2\pi A}} = \frac{1}{2\pi} \int e^{i\omega u - A\omega^2/2} d\omega $ 를 사용하여 $ N-1 $ 중 적분을 수행하고, 최종 형태의 $ P(W) $ 를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 동일한 유럽형 옵션의 상대 비중 $ w = S_T^{(1)}/(S_T^{(1)} + S_T^{(2)}) $ 는 시간이 지남에 따라 항상 1/2를 중심으로 대칭적으로 분포하는가?
• RQ2 유럽형 옵션의 경우 분포 $ P(W) $ 가 단모형에서 이모형으로 전이되는 임계 만기 $ \alpha_T $ 는 얼마인가?
• RQ3 아시안형 옵션의 경로 의존성은 분포 $ P(\mathcal{W}) $ 의 형태에 어떤 영향을 미치며, 이모형이 나타나는 매개변수 조건은 무엇인가?
• RQ4 두 자산를 구동하는 브라운 운동 증분 간 상관관계가 상대 비중 분포 형성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 아시안형 옵션의 분포 점근적 행동은 통합 초기함수 $ U(a,b,z) $ 와 같은 특수 함수로 정확하게 근사할 수 있는가?

주요 결과

• 유럽형 옵션의 경우, 분포 $ P(W) $ 는 $ \alpha_T > 1/2 $ 일 때 단모형(최빈값이 $ W = 1/2 $)에서 이모형(최빈값이 $ W = 0 $ 과 $ W = 1 $)으로 전이되며, 이로 인해 $ W = 1/2 $ 가 가장 확률이 낮은 값이 된다.
• 이 전이는 효과적 만기 $ \alpha_T = \sigma^2 T / 2 $ 에 의해 지배되며, $ \alpha_T > 1/2 $ 일 때 로짓-노멀 분포의 로그 특이성으로 인해 이모형 형태가 나타난다.
• 아시안형 옵션의 경우, 이모형 행동은 매개변수 $ \mu $ 와 $ \alpha_T $ 의 특정 범위 내에서만 발생하며, 이 범위를 벗어나면 $ P(\mathcal{W}) $ 는 여전히 단모형이 되며 최빈값은 $ \mathcal{W} = 1/2 $ 에 있다.
• 아시안형 옵션 비중 분포 $ \Psi(\tau) $ 의 해석적 근사는 특수 함수인 통합 초기함수 $ U(a,b,z) $ 를 사용하여 매우 정확하게 유도되었으며, 특히 큰 $ \alpha_T $ 의 경우 수치 평가와도 높은 일치를 보였다.
• 상관관계가 있는 증분에 대한 확률 밀도 $ P(W) $ 는 이산 시간 랜덤 워크 모델과 가우시안 적분을 사용하여 유도되었으며, 이는 상관관계 강도를 반영하는 $ g^2 = 2\chi^2/(2 + \chi^2) $ 를 포함하는 형태를 취한다.
• 본 연구는 두 자산 시스템에서 자발적인 대칭성 파괴를 규명하였다: 동일한 확률적 역학에도 불구하고, 한 옵션이 합계에서 높은 확률로 지배하게 되며, 이는 동일한 기여 기대에 대한 직관적 기대와 배치된다.