[논문 리뷰] Two Structural Results for Low Degree Polynomials and Applications

Gil Cohen, Avishay Tal|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 02.

Coding theory and cryptography인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 낮은 차수 다항식에 대해 두 가지 구조적 결과를 확립한다: 첫째, 임의의 $ n $개 변수에 대한 $ \mathbb{F}_q $ 위의 차수-$ d $ 다항식은 $ \Omega(d \cdot n^{1/(d-1)}) $ 차원의 애프인 부분공간에서 일정하다. 이는 날카로운 결과이다. 둘째, 이러한 다항식은 $ \mathbb{F}_q^n $ 을 $ \Omega(n^{1/(d-1)!}) $ 차원의 애프인 부분공간들로 분할하며, 각 부분공간에서 다항식은 일정하다. 이러한 결과는 다중 다항식, 희소 다항식, 낮은 차수 다항식에 가까운 함수로 일반화되며, 추출기, 산산이 흩어지는 기구, 그리고 회로 복잡도 분야에서의 응용을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, two structural results concerning low degree polynomials over finite fields are given. The first states that over any finite field $\mathbb{F}$, for any polynomial $f$ on $n$ variables with degree $d \le \log(n)/10$, there exists a subspace of $\mathbb{F}^n$ with dimension $Ω(d \cdot n^{1/(d-1)})$ on which $f$ is constant. This result is shown to be tight. Stated differently, a degree $d$ polynomial cannot compute an affine disperser for dimension smaller than $Ω(d \cdot n^{1/(d-1)})$. Using a recursive argument, we obtain our second structural result, showing that any degree $d$ polynomial $f$ induces a partition of $F^n$ to affine subspaces of dimension $Ω(n^{1/(d-1)!})$, such that $f$ is constant on each part. We extend both structural results to more than one polynomial. We further prove an analog of the first structural result to sparse polynomials (with no restriction on the degree) and to functions that are close to low degree polynomials. We also consider the algorithmic aspect of the two structural results. Our structural results have various applications, two of which are: * Dvir [CC 2012] introduced the notion of extractors for varieties, and gave explicit constructions of such extractors over large fields. We show that over any finite field, any affine extractor is also an extractor for varieties with related parameters. Our reduction also holds for dispersers, and we conclude that Shaltiel's affine disperser [FOCS 2011] is a disperser for varieties over $F_2$. * Ben-Sasson and Kopparty [SIAM J. C 2012] proved that any degree 3 affine disperser over a prime field is also an affine extractor with related parameters. Using our structural results, and based on the work of Kaufman and Lovett [FOCS 2008] and Haramaty and Shpilka [STOC 2010], we generalize this result to any constant degree.

연구 동기 및 목표

• 유한체 위의 차수-$ d $ 다항식이 일정한 애프인 부분공간의 최대 차원을 결정하는 것.
• 낮은 차수 다항식의 본질적 구조, 특히 부분공간에서의 행동을 이해하는 것.
• 다중 다항식, 희소 다항식, 낮은 차수 다항식에 가까운 함수로 이러한 구조적 결과를 일반화하는 것.
• 이러한 구조적 통찰을 가짜 무작위성 문제, 특히 다양체와 애프인 공간에 대한 추출기 및 산산이 흩어지는 기구에 적용하는 것.
• 애프인 산산이 흩어지는 기구와 추출기 사이의 연결 고리 수립 및 $\mathsf{AC}^0[\oplus]$ 회로가 이러한 대상들을 계산하는 데서 겪는 한계 분석.

제안 방법

• 유한체 $ \mathbb{F}_q $ 위의 $ n $개 변수에 대한 차수-$ d $ 다항식 $ f $ 에 대해, $ d \leq \log n / 10 $ 이면, $ \Omega(d \cdot n^{1/(d-1)}) $ 차원의 애프인 부분공간에서 $ f $ 가 일정하다는 것을 보이며, 이를 재귀적 부분공간 구성 기법을 사용한다.
• 이 bound 가 날카로운지 확인하기 위해, 더 큰 부분공간에서 일정해질 수 없는 다항식을 구성한다.
• 첫 번째 구조적 결과를 기반으로 재귀적 추론을 사용하여 $ \mathbb{F}_q^n $ 을 $ \Omega(n^{1/(d-1)!}) $ 차원의 애프인 부분공간들로 분할하며, 각 부분공간에서 $ f $ 는 일정하다.
• 다중 다항식에 대해 결과를 확장하기 위해 다항식 시스템에 동일한 재귀적 분해를 적용한다.
• 희소 다항식과 낮은 차수 다항식에 가까운 함수에 대해 첫 번째 구조적 결과를 일반화하기 위해 DeMillo-Lipton-Schwartz-Zippel 보조정리의 변형을 사용한다.
• 구조적 결과를 적용하여, 애프인 추출기가 다양체에 대해서도 추출기임을 증명하고, 애프인 산산이 흩어지는 기구가 상수 차수일 경우 추출기임을 보이며, 회로 복잡도 및 무작위 제한 기법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한체 위의 차수-$ d $ 다항식이 일정한 애프인 부분공간의 최대 차원은 무엇인가?
• RQ2 낮은 차수 다항식의 구조를 이용하여 공간을 다항식이 일정한 부분공간들로 분할할 수 있으며, 이러한 부분공간의 차원은 얼마인가?
• RQ3 낮은 차수 다항식의 구조적 성질은 다양체와 애프인 부분공간에 대한 추출기 및 산산이 흩어지는 기구의 존재와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 이러한 구조적 결과는 다중 다항식, 희소 다항식, 낮은 차수 다항식에 가까운 함수로 어느 정도까지 일반화되는가?
• RQ5 이러한 구조적 결과는 특히 $\mathsf{AC}^0[\oplus]$ 회로에서 애프인 산산이 흩어지는 기구와 추출기의 회로 복잡도에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 유한체 $ \mathbb{F}_q $ 위의 차수-$ d $ 다항식에 대해 $ d \leq \log n / 10 $ 이면, 다항식이 일정한 $ \Omega(d \cdot n^{1/(d-1)}) $ 차원의 애프인 부분공간이 존재하며, 이 bound 는 날카로운 결과이다.
• 모든 차수-$ d $ 다항식은 첫 번째 구조적 결과를 기반으로 재귀적 분해를 통해 $ \mathbb{F}_q^n $ 을 $ \Omega(n^{1/(d-1)!}) $ 차원의 애프인 부분공간들로 분할하며, 각 부분공간에서 다항식은 일정하다.
• 첫 번째 구조적 결과는 희소 다항식과 낮은 차수 다항식에 가까운 함수로 일반화되며, DeMillo-Lipton-Schwartz-Zippel 보조정리의 일반화된 형태를 사용한다.
• 모든 유한체 위에서 애프인 추출기는 다양체에 대해서도 추출기이며, $\mathbb{F}_2$ 위에서 Shaltiel 의 애프인 산산이 흩어지는 기구는 다양체에 대한 산산이 흩어지는 기구이다.
• 소수 필드 위에서 상수 차수의 애프인 산산이 흩어지는 기구는 관련 매개변수를 갖는 애프인 추출기이기도 하며, 이는 이전의 차수 3에 대한 결과를 일반화한다.
• 깊이-3 $\mathsf{AC}^0[\oplus]$ 회로는 최적의 애프인 추출기를 계산할 수 있지만, 깊이-2 $\mathsf{AC}^0[\oplus]$ 회로는 $ o(n/\mathrm{polylog}(n)) $ 차원에 대해 좋은 애프인 산산이 흩어지는 기구를 계산할 수 없다.