[논문 리뷰] Two Variants of Euler Sums

Ce Xu, Weiping Wang|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 15.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유클리드 $T$-합과 교대 유클리드 $T$-합의 두 변형을 도입하고, 경로 적분과 잔여정리 방법을 사용하여 평가한다. 이는 허먼의 $t$-값과 다중 제타 함수를 이용한 명시적 공식을 유도하며, 카네코-츠무라의 추측에 대한 이중성 공식을 수립하고, 삼중 $t$-값과 짝수 무게를 가진 카네코-츠무라 $T$-제타 값에 대한 닫힌 형태를 제공한다.

ABSTRACT

For positive integers $p_1,p_2,\ldots,p_k,q$ with $q>1$, we define the Euler $T$-sum $T_{p_1p_2\cdots p_k,q}$ as the sum of those terms of the usual infinite series for the classical Euler sum $S_{p_1p_2\cdots p_k,q}$ with odd denominators. Like the Euler sums, the Euler $T$-sums can be evaluated according to the Contour integral and residue theorem. Using this fact, we obtain explicit formulas for Euler $T$-sums with repeated arguments analogous to those known for Euler sums. Euler $T$-sums can be written as rational linear combinations of the Hoffman $t$-values. Using known results for Hoffman $t$-values, we obtain some examples of Euler $T$-sums in terms of (alternating) multiple zeta values. Moreover, we prove an explicit formula of triple $t$-values in terms of zeta values, double zeta values and double $t$-values. We also define alternating Euler $T$-sums and prove some results about them by the Contour integral and residue theorem. Furthermore, we define another Euler type $T$-sums and find many interesting results. In particular, we give an explicit formulas of triple Kaneko-Tsumura $T$-values of even weight in terms of single and the double $T$-values. Finally, we prove a duality formula of Kaneko-Tsumura's conjecture.

연구 동기 및 목표

• 고유 분모에 제한된 고전적 유클리드 합의 변형인 유클리드 $T$-합을 정의하고 체계적으로 연구하기.
• 교대 유클리드 $T$-합과 기타 유클리드 유형의 $T$-합, 특히 카네코-츠무라 $T$-제타 값의 이론을 확장하기.
• 경로 적분과 잔여계산을 이용하여 이러한 합의 명시적 평가를 수립하고, 이를 허먼의 $t$-값과 다중 제타 함수와 연결하기.
• 카네코-츠무라의 추측에 대한 이중성 공식을 증명하여 다양한 $T$-합과 $t$-값을 연결하기.
• 간단한 제타 함수와 $t$-값을 이용한 삼중 $t$-값과 짝수 무게를 가진 카네코-츠무라 $T$-제타 값의 닫힌 형태 표현을 제공하기.

제안 방법

• 홀수 분모에 대한 합으로서 유클리드 $T$-합 $T_{p_1\bar{p}_k,q}$ 를 정의하고, 조화수 유사 분자 $h_{n-1}^{(p)}$ 를 포함한다.
• 디감마 함수와 그 도함수의 성질을 활용하여 경로 적분과 잔여정리를 적용하여 $T$-합을 평가한다.
• $T$-합과 허먼의 $t$-값 간의 관계를 이용: 모든 유클리드 $T$-합은 같은 무게이자 깊이가 최대 $k+1$인 $t$-값의 유리수 선형 조합이다.
• 제타 함수, 이중 제타 함수, 이중 $t$-값을 이용하여 삼중 $t$-값의 명시적 공식을 도출한다.
• 교대 유클리드 $T$-합을 도입하고, 동일한 경로 적분 프레임워크를 사용하여 평가한다.
• 허위츠 제타 함수와 $\Psi^{(m-1)}$ 함수를 포함한 함수방정식과 잔여항 항등식을 조합하여 카네코-츠무라의 추측에 대한 이중성 공식을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반복된 인자를 가진 유클리드 $T$-합은 고전적 유클리드 합에 대한 알려진 결과와 유사하게 어떻게 명시적으로 평가할 수 있는가?
• RQ2 유클리드 $T$-합과 허먼의 $t$-값 사이의 관계는 무엇이며, $T$-합은 $t$-값의 유리수 선형 조합으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 카네코-츠무라의 추측에 대해 $T$-합과 $t$-값을 포함하여 이중성 공식을 수립할 수 있는가?
• RQ4 간단한 제타 함수를 이용하여 삼중 $t$-값과 짝수 무게를 가진 카네코-츠무라 $T$-제타 값의 닫힌 형태 평가가 무엇인가?
• RQ5 교대 유클리드 $T$-합은 어떻게 행동하는가? 비교적 교대가 아닌 경우와 동일한 분석 기법을 사용하여 평가할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 제타 함수, 이중 제타 함수, 이중 $t$-값을 이용하여 삼중 $t$-값의 명시적 공식을 도출한다.
• 유클리드 $T$-합이 무게 $w$와 차수 $k$를 가질 경우, 무게 $w$이자 깊이가 최대 $k+1$인 허먼의 $t$-값의 유리수 선형 조합임을 증명한다.
• 특수한 예로 $p=2, q=3$ 인 경우, 항등식 $3T(2,4) + 2T(3,3) = \frac{\pi^6}{64} - \frac{49}{8}\zeta^2(3)$ 가 확립된다.
• 카네코-츠무라의 추측에 대한 이중성 공식이 증명되어 $T(m+i,q+j)$ 와 $T(p+i,q+j)$ 의 합이 $\widetilde{t}(p+q+m-1)$ 과 제타 함수 및 $t$-값의 곱으로 연결됨을 보여준다.
• $\widetilde{S}_{p,q} = 2^{p+q-2}T(q,p)$ 와 $T_{p,q} = 2^{p+q}t(q,p)$ 의 관계를 사용하여 이중 카네코-츠무라 $T$-값과 이중 허먼의 $t$-값을 연결한다.
• 보조정리 5.4는 구체적인 평가를 제공한다: $\widetilde{S}_{2,2} + 2\widetilde{S}_{1,3} - T_{2,2} = \frac{\pi^4}{12}$ 로서, 이는 방법의 효과성을 보여준다.