[논문 리뷰] Two-Way Parikh Automata

Emmanuel Filiot, Shibashis Guha외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

semigroups and automata theory참고 문헌 7인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 양방향 파르크 자동기(2PA)를 조사하며, 일방향 파르크 자동기를 양방향 입력 헤드로 확장한다. 유한 방문 조건이 있는 2PA에 대해 공집합 여부 문제가 PSpace-완비임을 규명하고, 비결정적 2PA의 일반적인 경우에서는 결정불가능함을 증명한다. Σi-프레스버거 공식으로 표현된 반선형 제약 조건에 대해 엄밀한 복잡도 경계를 제시하며, Σi-2DPA의 포함, 보편성, 동치성 문제의 복잡도가 ΠExp_i-완비임을 보이며, i > 1일 경우 복잡도는 주로 Σi-프레스버거 공식의 만족 가능성에 의해 지배됨을 밝힌다.

ABSTRACT

Parikh automata extend automata with counters whose values can only be tested at the end of the computation, with respect to membership into a semi-linear set. Parikh automata have found several applications, for instance in transducer theory, as they enjoy decidable emptiness problem. In this paper, we study two-way Parikh automata. We show that emptiness becomes undecidable in the non-deterministic case. However, it is PSpace-C when the number of visits to any input position is bounded and the semi-linear set is given as an existential Presburger formula. We also give tight complexity bounds for the inclusion, equivalence and universality problems. Finally, we characterise precisely the complexity of those problems when the semi-linear constraint is given by an arbitrary Presburger formula.

연구 동기 및 목표

• 양방향 파르크 자동기(2PA)에 대한 기본 결정 문제인 공집합 여부, 포함, 동치성, 보편성의 결정 가능성과 복잡도를 분석하는 것.
• 2PA의 표현 능력을 일방향 파르크 자동기 및 비다중 해석 자동기와 비교하여 특성화하는 것.
• 수용 조건이 Σi-프레스버거 공식으로 주어질 경우 문제의 정확한 복잡도를 규명하는 것, 특히 i > 1일 경우에 중점을 두는 것.
• 유한 방문 제약 조건이 있는 2PA 클래스에 대해 약한 지수계층 내에서 엄밀한 복잡도 경계를 설정하는 것.

제안 방법

• 일방향 파르크 자동기에 양방향 입력 헤드를 추가하여 입력을 좌우로 이동할 수 있도록 확장한다.
• 작은 증거 성질과 2DPA에서 비다중 해석 자동기로의 변환에 대한 철저한 복잡도 분석을 통해 공집합 여부를 분석한다.
• 교환형 튜링 기계와 양자화자 교차를 활용하여 Σi-프레스버거 공식을 포함하는 문제의 상계를 도출한다.
• 2DPA의 부울 연산에 대한 닫힘 성질을 활용하여 포함 및 보편성 문제를 공집합 여부 문제로 감소시킨다.
• Σi-프레스버거 공식의 만족 가능성 및 타당성 문제로부터의 감소를 통해 하한을 증명한다.
• 기존의 단어 변환기와 교차 시퀀스 이론을 활용하여 비다중 해석 자동기와 두 방향 결정형 유한 변환기 간의 동치성을 보이며, 2DPA-UPA 대응 관계를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비결정적 양방향 파르크 자동기의 공집합 여부 문제는 결정 가능한가? 만약 그렇다면, 그 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 존재적 프레스버거 제약 조건이 있는 유한 방문 조건이 있는 양방향 파르크 자동기의 공집합 여부 문제의 정확한 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 수용 조건이 Σi-프레스버거 공식으로 정의될 경우, 두 방향 결정형 파르크 자동기의 포함, 보편성, 동치성 문제의 복잡도는 어떻게 변화하는가?
• RQ4 표현 능력과 복잡도 측면에서 두 방향 결정형 파르크 자동기와 비다중 해석 일방향 파르크 자동기 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 i > 1일 경우, 2PA의 결정 문제 복잡도가 프레스버거 공식 추론의 복잡도에 의해 지배되는가?

주요 결과

• 유한 방문 조건이 있는 양방향 파르크 자동기의 공집합 여부 문제는, 입력 위치당 방문 횟수가 상수로 제한되어 있어도 PSpace-완비이다.
• 일반적인 비결정적 양방향 파르크 자동기의 공집합 여부 문제는 결정불가능해진다.
• Σi-2DPA의 포함, 보편성, 동치성 문제는 ΠExp_i-완비이며, i > 1일 경우 복잡도는 주로 Σi-프레스버거 공식의 만족 가능성에 의해 지배된다.
• i = 1일 경우, 공집합 여부 문제의 복잡도는 여전히 PSpace-완비이지만, Σ1-공식의 만족 가능성 문제는 NP-완비이므로 복잡도 영역 간의 분리가 나타난다.
• 두 방향 결정형 파르크 자동기는 비다중 해석 일방향 파르크 자동기와 표현 능력이 동치이며, 변환 과정에서 이중 지수적 팽창이 발생한다.
• 2PA의 소속 문제 복잡도는 NP-완비이며, 일방향 파르크 자동기와 동일한 복잡도를 가진다.