[논문 리뷰] Two-weight and three-weight codes from trace codes over $\mathbb{F}_p+u\mathbb{F}_p+v\mathbb{F}_p+uv\mathbb{F}_p$

Yan Liu, Minjia Shi외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 01.

Coding theory and cryptography참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비체인 환 $\mathbb{F}_p + u\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p + uv\mathbb{F}_p$ 위에서 추적 코드와 가우스 합을 이용하여 두 가중치 및 세 가중치 코드의 무한한 가족을 구성한다. 선형 그레이 맵을 적용함으로써 소수 거듭제곱 수의 아벨 $p$-진 코드를 얻으며, 이중 가중치 코드의 최적성은 글라이저 경계를 통해 증명된다. 이중 리드 거리가 2임을 보여, 독재적 비밀 공유 체계를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We construct an infinite family of two-Lee-weight and three-Lee-weight codes over the non-chain ring $\mathbb{F}_p+u\mathbb{F}_p+v\mathbb{F}_p+uv\mathbb{F}_p,$ where $u^2=0,v^2=0,uv=vu.$ These codes are defined as trace codes. They have the algebraic structure of abelian codes. Their Lee weight distribution is computed by using Gauss sums. With a linear Gray map, we obtain a class of abelian three-weight codes and two-weight codes over $\mathbb{F}_p$. In particular, the two-weight codes we describe are shown to be optimal by application of the Griesmer bound. We also discuss their dual Lee distance. Finally, an application to secret sharing schemes is given.

연구 동기 및 목표

• 비체인 환 $\mathbb{F}_p + u\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p + uv\mathbb{F}_p$ 위에서 적은 가중치를 가진 새로운 선형 코드 가족을 구성하기.
• 이 환 위에서의 추적 코드의 리드 가중치 분포를 가우스 합을 이용해 결정하기.
• 글라이저 경계를 통해 얻어진 두 가중치 코드가 $\mathbb{F}_p$ 위에서 최적임을 입증하기.
• 이중 리드 거리 분석 및 결과를 비밀 공유 체계에 적용하기.
• 더 복잡한 환 구조 위에서 순환 코드에서 아벨 코드로의 확장을 통해 이전의 구성들을 일반화하기.

제안 방법

• 평가 사상 $Ev(a) = (\mathrm{Tr}(ax))_{x \in L}$ 를 사용하여 환 $\mathcal{R} = \mathbb{F}_{p^m} + u\mathbb{F}_{p^m} + v\mathbb{F}_{p^m} + uv\mathbb{F}_{p^m}$ 위에서 추적 코드 $C(m,p)$ 를 정의한다.
• 가우스 합을 사용하여 $\alpha \in \mathbb{F}_{p^m}^*$ 의 제곱 또는 비제곱 상태에 따라 코드워드의 리드 가중치 분포를 계산한다.
• 선형 그레이 맵 $\phi$ 를 적용하여 환 위의 코드를 $p$-진 코드로 매핑하고, 아벨 구조를 유지한다.
• 구구의 공격 경계와 환의 단위 성질을 이용하여 이중 리드 거리 $d^\prime = 2$ 를 확립한다.
• 비율 $\omega_0 / \omega_\infty > (p-1)/p$ 를 활용하여 일부 경우에서 모든 비영 코드워드가 최소임을 증명한다.
• 이미지 코드 $\phi(C(m,p))$ 의 최소 코드워드를 기반으로 비밀 공유 체계를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 환 $\mathbb{F}_p + u\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p + uv\mathbb{F}_p$ 위에서 추적 코드가 적은 가중치를 가진 코드를 유도할 수 있는가?
• RQ2 이러한 추적 코드의 정확한 리드 가중치 분포는 무엇이며, $m$ 과 $p$ 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 그레이 맵을 통해 유도된 $p$-진 코드가 글라이저 경계 기준으로 최적인가?
• RQ4 구성된 코드의 이중 리드 거리는 얼마이며, 비밀 공유에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 코드의 최소 코드워드는 독재적 또는 민주적 비밀 공유 체계를 이끌 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $m$ 이 짝수이고 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 일 때, $a = \alpha uv$ 인 경우 코드워드의 리드 가중치는 $\alpha$ 의 이차 성질에 따라 결정되며, $2(p-1)(p^{4m-1} \pm \epsilon(p)p^{(7m-2)/2})$ 로 표현된다.
• 모든 $m$ 이 홀수이고 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 일 때, $a = \alpha uv$ 인 코드워드의 리드 가중치는 $2(p^{4m} - p^{4m-1})$ 이며, 다른 코드워드는 $2(p-1)(p^{4m-1} - p^{3m-1})$ 의 가중치를 가진다.
• 그레이 맵을 통해 유도된 $\mathbb{F}_p$ 위의 두 가중치 코드는 글라이저 경계에 의해 최적임이 확인된다.
• $C(m,p)$ 의 이중 리드 거리 $d^\prime$ 는 모든 $m > 1$ 에 대해 정확히 2이며, 이는 이중에 가중치 2의 코드워드가 존재하고, 가중치 1의 코드워드는 존재하지 않음을 의미한다.
• $m > 2$ 이고 $m$ 이 짝수이거나, $m$ 이 홀수이고 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 일 때, $p$-진 이미지 코드의 모든 비영 코드워드는 최소이다. 이는 최소 가중치와 최대 가중치의 비율이 $(p-1)/p$ 를 초과하기 때문이다.
• $\phi(C(m,p))$ 에 기반한 비밀 공유 체계는 독재적이다. $d^\prime = 2$ 는 '독재자'들이 모든 협력자 집단에 포함되어 있음을 시사하기 때문이다.