[논문 리뷰] Tykhonov Well-posedness of Elliptic Variational-Hemivariational Inequalities

Mircea Sofonea, Yi‐bin Xiao|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 18.

Contact Mechanics and Variational Inequalities참고 문헌 28인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간 설정에서 타크노프 잘 정의됨의 필요 및 충분 조건을, 해 집합의 거리적 특성화를 통해 수립한다. 해의 데이터에 대한 연속적 의존성도 증명하고, 단일성과 수렴성의 성질을 분석하여, 비선형 경계 조건과 마찰이 있는 접촉역학 문제에 적용한다.

ABSTRACT

We consider a class of elliptic variational-hemivaria\-tional inequalities in a abstract Banach space for which we introduce the concept of well-posedness in the sense of Tykhonov. We characterize the well-posedness in terms of metric properties of a family of associated sets. Our results, which provide necessary and sufficient conditions for the well-posedness of inequalities under consideration, are valid under mild assumptions on the data. Their proofs are based on arguments of monotonicity, lower semicontinuity and properties of the Clarke directional derivative. For well-posed inequalities we also prove a continuous dependence result of the solution with respect to the data. We illustrate our abstract results in the study of one-dimensional examples, then we focus on some relevant particular cases, including variational-hemivariational inequalities with strongly monotone operators. Finally, we consider a model variational-hemivariational inequality which arises in Contact Mechanics for which we discuss its well-posedness and provide the corresponding mechanical interpretations.

연구 동기 및 목표

• 추상 바나흐 공간에서 타입의 타크노프 잘 정의됨을 도입하고 분석한다.
• 데이터에 대한 약한 가정 하에 관련 해 집합의 거리적 성질을 통해 잘 정의됨을 특성화한다.
• 문제의 데이터(연산자, 함수형, 제약 조건)에 대한 해의 연속적 의존성을 확립한다.
• 기존 문헌에서 일반적으로 요구되는 강한 단조성과 소형 조건을 완화함으로써 기존 결과를 확장한다.
• 추상적 프레임워크를 정규 적합성과 양면 마찰이 있는 접촉역학 문제에 적용하여 물리적 의미를 제공한다.

제안 방법

• 해의 존재성과 유일성, 그리고 모든 근사 수열이 유일한 해로 수렴하는 것을 조건으로 하여, 변분-반변분부등식에 대한 타크노프 잘 정의됨을 정의한다.
• 단조성, 하부 연속성 및 클라락 방향 도함수의 성질을 사용하여 부등식의 구조를 분석한다.
• 부등식과 관련된 집합의 가족을 도입하고, 이들이 싱글턴으로 수렴하는 것과 잘 정의됨이 등가임을 특성화한다.
• 근사 수열의 데이터 수렴 조건을 검증함으로써 연속적 의존성을 확립한다: $A_n \to A$, $\varphi_n \to \varphi$, $j_n \to j$, $f_n \to f$, $K_n \to K$.
• 일차원 예제와 정규 적합성 및 양면 마찰이 있는 접촉역학 문제에 추상적 프레임워크를 적용한다.
• 트레이스 부등식과 수렴 추정을 사용하여, 약한 가정 하에 거리 조건을 검증한다. 이는 갭 함수와 응력 데이터의 $L^2$ 수렴을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 바나흐 공간에서 타원형 변분-반변분부등식의 타크노프 잘 정의됨을 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 해 집합의 거리적 성질을 통해 잘 정의됨을 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 해가 문제의 데이터에 대해 연속적으로 의존하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 비볼록성과 비미분 가능성을 가진 접촉 조건이 있는 접촉역학 문제에 추상적 프레임워크를 적용할 수 있는가?
• RQ5 접촉 문제에서 잘 정의됨과 연속적 의존성 결과로부터 도출되는 기계적 의미는 무엇인가?

주요 결과

• 변분-반변분부등식의 잘 정의됨은 관련된 집합의 가족이 싱글턴으로 수렴하는 것과 동치이다.
• 약한 가정 하에 해의 데이터에 대한 연속적 의존성이 확립되었으며, 이는 갭 함수와 응력 데이터의 $L^2$ 수렴을 포함한다.
• 근사 수열의 수렴 속도는 $\|g_n - g\|_{L^2(\Gamma_3)}$ 비례하는 항들에 의해 제어되며, 이는 $F$와 $p$의 리프시츠 상수에 따라 달라진다.
• 정규 적합성과 마찰이 있는 접촉역학 문제에서는 제안된 조건 하에 잘 정의됨이 성립한다. 이는 연산자 $A$의 강한 단조성이 없더라도 성립한다.
• 강한 단조성이 성립하지 않으면 해의 유일성이 깨지며, 이는 다수의 원소를 포함하는 비자명한 해 집합 $\widetilde{K}$를 구성함으로써 입증된다.
• 소형 조건과 강한 단조성 조건의 필요성을 완화함으로써 기존 연구를 일반화하였으며, 더 약한 가정 하에서도 잘 정의됨을 유지할 수 있다.