[논문 리뷰] Type II blow up manifolds for the energy supercritical wave equation

Charles Collot|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 16.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 16인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 고차원(d ≥ 11)에서 에너지 초초과 파동방정식에 대해 명시적이고 부드럽고 컴팩트하게 지지된 해를 구성하며, 이는 정량화된 속도로 솔리톤 프로파일의 집중을 통해 유한 시간 내에 폭발한다. 비판적 파동 및 열 흐름 분석에 적응된 정교한 에너지 방법을 사용하여, 이러한 유형 II 폭발 해의 리프시츠 다중체의 존재를 증명한다. 이 다중체의 여피차수는 ℓ−1이며, 폭발이 일어날 때 모든 하위비판적 노름이 유계이다.

ABSTRACT

We consider the non linear focusing wave equation $\partial_{tt}u-Δu-u|u|^{p-1}=0$ in large dimensions and for radially symmetric data, in the energy supercritical zone for p large enough. We construct finite time blow up solutions that concentrate the soliton profile $u \sim \frac{1}{λ^{\frac{2}{p-1}}}Q (\frac{r} λ)$, $Q$ being a special stationary state of the equation. The blow up is of type II i.e all norms below scaling remain bounded. The scale shrinks at quantized blow up rates: we exhibit a countable family of asymptotic behaviors near blow up time for the scale lambda. For each rate we are able to prove that there exists a Lipschitz manifold with explicit codimension of initial data leading to such solutions. Our analysis adapts the robust energy method developed for the study of energy critical bubbles and the analogous result for the energy supercritical NLS problem. This work is also related to similar solutions for the non linear heat equation for which the existence was already known, but with some techniques that could not be adapted to the wave equation.

연구 동기 및 목표

• 고차원에서 에너지 초과 파동방정식에 대해 명시적이고 부드럽고 컴팩트하게 지지된 해를 구성하며, 이는 유한 시간 내에 폭발한다.
• 솔리톤 집중에 의해 폭발하는 해의 리프시츠 다중체의 존재를 증명한다. 이 다중체의 여피차수는 ℓ−1이며, 폭발 속도는 λ(t) ∼ (T−t)^{ℓ/α}로 정량화된다.
• 폭발이 유형 II임을 증명한다. 즉, t↑T일 때 모든 하위비판적 소볼레프 노름이 유계이다.
• 에너지 비판 문제에서 개발된 강력한 에너지 방법을 초과에너지 영역으로 확장하여, 새로운 분석 프레임워크를 제공함으로써 부드럽고 컴팩트하게 지지된 유형 II 폭발 해를 구성한다.

제안 방법

• 에너지 비판 파동 및 열 흐름 분석에서 Merle, Raphaël, 및 Rodnianski가 개발한 에너지 방법을 에너지 초과 설정으로 적응한다.
• 정량화된 폭발 속도 λ(t) ∼ c(T−t)^{ℓ/α}로 솔리톤 프로파일 Q(r/λ(t))의 집중을 보이는 해를 구성한다.
• 작은 오차 항 ε과 느리게 변화하는 척도 매개변수 λ(t)를 사용하여 폭발 프로파일 근처의 해를 정밀하게 매개변수화한다.
• 가중치가 부여된 에너지 추정과 가중치 소볼레프 공간 내에서의 강제성 경계를 사용하여 오차 항 ε를 통제하고 안정성을 확보한다.
• 보간법과 가중치가 부여된 하디 부등식을 사용하여 오차 항 ε에 대한 점별 및 가중치가 부여된 L∞ 경계를 유도한다.
• 점근적 분석과 부스팅 추론을 적용하여, λ(t)의 변화가 느리고 초기 에너지가 작다는 가정 하에 에너지 추정을 완성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원(d ≥ 11)에서 에너지 초과 파동방정식에 대해 유형 II 폭발 해를 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 해의 정확한 폭발 속도와 프로파일은 무엇이며, 정수 ℓ에 따라 정량화될 수 있는가?
• RQ3 에너지 초과 영역에서 폭발이 여전히 유형 II로 유지되며, 모든 하위비판적 노름이 유계인가?
• RQ4 에너지 비판 문제에서 사용된 강력한 에너지 방법을 초과에너지 영역으로 확장하여, 부드럽고 컴팩트하게 지지된 유형 II 폭발 해를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 각 정수 ℓ > α(d,p) > 2 및 p > p(d) > 1 + 4/(d−2)에 대해, 솔리톤 집중을 통해 폭발하는 해의 리프시츠 다중체가 여피차수 ℓ−1로 존재한다.
• 폭발 속도는 λ(t) ∼ c(T−t)^{ℓ/α}로 정량화되며, ℓ는 속도를 결정하고 α는 d와 p에 따라 달라진다.
• t↑T일 때 모든 하위비판적 소볼레프 노름이 유계이므로 폭발이 유형 II임을 확인한다: limsup_{t↑T} ||∇^s u(t), ∇^{s−1} ∂_t u(t)||_{L^2} < ∞ for s < s_c.
• 해는 C^∞이면서 컴팩트하게 지지될 수 있으며, 이는 정규 초기 자료가 유형 II 폭발을 유도함을 보여준다.
• 오차 항 ε에 대해 날카운 점별 및 가중치가 부여된 L∞ 경계를 확립하여 폭발 프로파일 근처의 해를 통제하는 데 핵심적이다.
• 이 방법은 에너지 방법을 초과에너지 영역으로 성공적으로 확장하여, 고차원에서 유형 II 폭발 해를 구성하는 데 새로운 프레임워크를 제공한다.