[논문 리뷰] Typicality of normal numbers with respect to the Cantor series expansion

Bill Mance|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 12.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무한한 극한을 가지며 완전히 발산하는 기본 수열 $ Q $에 대해, $[0,1)$ 내 거의 모든 실수는 블록 빈도에 대해 정확한 점근적 경계를 갖는 $ Q $-정규임을 증명한다. 강한 $ Q $-정규성이라는 개념을 도입하고, 비상수 $ Q $에 대해 표준 $ Q $-정규성보다 엄밀히 더 강한 성질임을 증명하며, $ Q $-정규 수가 공집합일 수 있는 경우에도 $ Q $-비율 정규 수는 $[0,1)$ 내에서 조밀함을 보인다.

ABSTRACT

Fix a sequence of integers $Q=\{q_n\}_{n=1}^\infty$ such that $q_n$ is greater than or equal to 2 for all $n$. In this paper, we improve upon results by J. Galambos and F. Schweiger showing that almost every (in the sense of Lebesgue measure) real number in $[0,1)$ is $Q$-normal with respect to the $Q$-Cantor series expansion for sequences $Q$ that satisfy a certain condition. We also provide asymptotics describing the number of occurrences of blocks of digits in the $Q$-Cantor series expansion of a typical number. The notion of strong $Q$-normality, that satisfies a similar typicality result, is introduced. Both of these notions are equivalent for the $b$-ary expansion, but strong normality is stronger than normality for the Cantor series expansion. In order to show this, we provide an explicit construction of a sequence $Q$ and a real number that is $Q$-normal, but not strongly $Q$-normal. We use the results in this paper to show that under a mild condition on the sequence $Q$, a set satisfying a weaker notion of normality, studied by A. Rényi in \cite{Renyi}, will be dense in $[0,1)$.

연구 동기 및 목표

• 고전적 정규 수 이론을 일반화된 $ Q $-칸토어 급수 전개 프레임워크로 확장한다.
• 幾乎 모든 $ x \in [0,1) $이 $ Q $-정규가 되는 조건을 $ Q $에 대해 규명한다.
• 강한 $ Q $-정규성의 개념을 도입하고, 표준 $ Q $-정규성과의 차이를 분석한다.
• $ Q $-정규 수가 존재하지 않을 수 있는 경우에도 $[0,1)$ 내에서 $ Q $-비율 정규 수의 조밀성을 조사한다.
• 일반적인 수의 $ Q $-칸토어 급수 전개에서 블록 발생 횟수에 대한 정밀한 점근적 추정을 제공한다.

제안 방법

• 확률적 방법과 보렐-칸토렐리 유형의 추론을 사용하여 $ Q $-칸토어 급수 전개에서 자릿수 블록 빈도를 분석한다.
• 무한곱 수렴 기준(보조정리 4.10)을 적용하여, $ Q $가 $ k $-수렴할 경우 $ Q $-정규 수의 집합이 측도 0임을 보인다.
• 각각의 블록 수 $ N_n^Q(B,x) $를 $ k $개의 부분블록 수 $ N_{n,p}(B,x) $로 분해하고, 각각에 대해 농도 부등식을 적용한다.
• 보조정리 4.8과 4.5를 사용하여 일반적인 $ x $에 대해 $ N_n^Q(B,x) = Q_n^{(k)} + O\left(\sqrt{Q_n^{(k)}} \log\log Q_n^{(k)}\right)^{1/2} \right) $ 형태의 점근적 경계를 유도한다.
• 특정한 $ Q $-정규이지만 강한 $ Q $-정규가 아닌 수를 구성하기 위해 $ q_n $를 $ q_n \to \infty $이지만 불규칙한 성장을 보이게 선택한다.
• 완전히 발산하는 $ Q' $-정규 수를 이용한 극한 구성법을 통해, $ Q $가 무한한 극한을 가질 경우 $ Q $-비율 정규 수의 존재성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 수열 $ Q $에 대해 $[0,1)$ 내 $ Q $-정규 수의 집합이 전체 르베그 측도를 가질 조건은 무엇인가?
• RQ2 강한 $ Q $-정규성은 표준 $ Q $-정규성과 어떻게 다를 수 있으며, 언제 엄밀히 더 강한 성질이 되는가?
• RQ3 $ Q $-정규 수가 존재하지 않을 수 있는 상황에서도 $ Q $-비율 정규 수가 존재하고 $[0,1)$ 내에서 조밀한가?
• RQ4 일반적인 실수의 $ Q $-칸토어 급수 전개에서 블록 발생 빈도를 특징짓는 정밀한 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ5 비상수 $ Q $에 대해 $ Q $-정규이지만 강한 $ Q $-정규가 아닌 수를 구성적으로 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 무한한 극한과 $ k $-발산성을 갖는 모든 기본 수열 $ Q $에 대해, 거의 모든 $ x \in [0,1) $이 $ \lim_{n \to \infty} \frac{N_n^Q(B,x)}{Q_n^{(k)}} = 1 $을 만족함을 확인하여 $ Q $-정규 수의 일반성을 입증한다.
• 논문은 거의 모든 $ x $에 대해 $ N_n^Q(B,x) = Q_n^{(k)} + O\left(\sqrt{Q_n^{(k)}} (\log\log Q_n^{(k)})^{1/2}\right) $라는 점근 공식을 확립하여 날카로운 오차 경계를 제공한다.
• 명시적 구성법을 통해 $ q_n = n+1 $일 경우 $ Q $-정규이지만 강한 $ Q $-정규가 아닌 수가 존재함을 보여, 강한 정규성이 $ Q $-칸토어 급수 설정에서 표준 정규성보다 엄밀히 더 강하다는 것을 증명한다.
• $ Q $가 $ k $-수렴할 경우, 길이 $ k $의 영 블록을 피하는 수의 양의 측도를 통해 $ Q $-정규 수의 집합이 공집합임을 보였다.
• 모든 $ Q $가 극한에서 무한할 경우, $ Q $-비율 정규 수의 집합은 $[0,1)$ 내에서 조밀함을 보이며, 이는 $ Q $-정규 수가 존재하지 않을 수 있음에도 불구하고 성립한다.
• 보조정리 4.12는 $ Q $-정규 수가 $[0,1)$ 내에서 전체 측도를 가짐을 보장하는 것이고, 이는 레니의 결과를 더 강한 점근적 통제로 확장한다.