[논문 리뷰] Uhlenbeck compactness for arbitrary $L^\infty$ connections and optimal regularity in General Relativity by the RT-equations

Moritz Reintjes, Blake Temple|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 30.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 미분다양체의 접다양체 위의 임의의 $L^\infty$ 접속에 대해 우렌벡 컴actness와 최적 정칙성을 확립한다. 이는 로렌츠 시공간을 포함한다. 좌표변환의 야코비안에 대한 탄성 PDE로 간소화된 RT-방정식을 도입함으로써, $L^\infty$ 접속이 $L^\infty$ 곡률을 가질 경우 항상 $W^{1,p}$ 정칙성으로 매끄럽게 조정될 수 있음을 증명한다. 이는 충격파를 넘어선 일반상대성 이론의 고전적 해, 예를 들어 지오데식과 국소 관성좌표계를 보장한다.

ABSTRACT

We resolve two problems in Mathematical Physics. First, we prove that any $L^{\infty}$ connection $\Gamma$ on the tangent bundle of an arbitrary differentiable manifold with $L^\infty$ Riemann curvature can be smoothed by coordinate transformation to optimal regularity, $\Gamma \in W^{1,p}$, (one derivative smoother than the curvature), any $p<\infty$. For Lorentzian metrics in General Relativity this implies that shock wave solutions of the Einstein-Euler equations are non-singular---geodesic curves, locally inertial coordinates and the Newtonian limit all exist in a classical sense. The proof is based on extending authors' existence theory for the RT-equations by one order, to the level of $L^{\infty}$ connections, and to accomplish this we introduce the $reduced$ RT-equations, a system of $elliptic$ partial differential equations for the Jacobians of the regularizing coordinate transformations. Secondly, we prove that this existence theory suffices to extend $Uhlenbeck$ $compactness$ from the case of connections on vector bundles over Riemannian manifolds (2019 Abel Prize and 2007 Steele Prize), to the case of connections on the tangent bundle of arbitrary differentiable manifolds, including Lorentzian manifolds of relativistic Physics. By this, Uhlenbeck compactness and optimal regularity are understood to be pure logical consequences of the rule which defines how connections transform from one coordinate system to another.

연구 동기 및 목표

• 임의의 미분다양체, 특히 로렌츠 시공간을 포함한 $L^\infty$ 접속의 정칙성과 컴팩트성 문제를 해결한다.
• 리만다양체 위의 벡터(bundle)에 대한 우렌벡 컴팩트성 이론을 일반 다면체 위의 접다양체로 확장한다.
• 아인슈타인-유동체 방정식의 충격파 해가 지오데식과 국소 관성좌표계와 같은 고전 기하학적 구조를 유지함을 확립한다.
• 접속의 최적 정칙성($W^{1,p}$)이 좌표변환 규칙의 직접 결과임을 보인다.
• RT-방정식의 존재 이론을 $L^p$에서 $L^\infty$ 설정으로 일반화하여, 접속을 곡률보다 한 단계 더 매끄럽게 조정할 수 있음을 보장한다.

제안 방법

• 정규화하는 좌표변환의 야코비안을 다루는 탄성 PDE 시스템인 간소화된 RT-방정식을 도입한다.
• 탄성 추정을 통해 야코비안의 정칙성을 분석함으로써, RT-방정식의 존재 이론을 $L^p$에서 $L^\infty$ 접속으로 확장한다.
• 접속의 변환 법칙을 이용해, 임의의 $p<\infty$에 대해 변환된 접속이 $W^{1,p}$ 정칙성을 확보하는 시스템을 유도한다. 이는 곡률보다 한 단계 더 매끄럽다.
• 간소화된 RT-방정식의 해 존재성이 임의의 다면체 위의 접다양체 접속에 대한 우렌벡 컴팩트성을 암시함을 증명한다.
• 컴팩트성과 정칙성 결과가 표준적인 좌표변환에 따른 접속의 변환 법칙의 논리적 결과임을 확립한다.
• 이론을 로렌츠 다면체에 적용하여, 아인슈타인-유동체 방정식의 충격파 해가 고전적 의미에서 기하학적으로 정칙함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 미분다양체 위의 $L^\infty$ 접속은 곡률이 $L^\infty$일지라도 좌표변환을 통해 $W^{1,p}$ 정칙성으로 정규화될 수 있는가?
• RQ2 리만다양체 위의 벡터다양체에 대한 우렌벡 컴팩트성은 일반 다면체, 특히 로렌츠 시공간의 접다양체로 확장되는가?
• RQ3 RT-방정식은 $L^\infty$ 설정으로 확장되어 접속의 최적 정칙성을 달성할 수 있는가?
• RQ4 접속의 최적 정칙성($W^{1,p}$)은 좌표변환에 따른 접속의 변환 법칙의 직접 결과인가?
• RQ5 일반상대성 이론의 충격파 해는 지오데식과 국소 관성좌표계와 같은 고전 기하학적 구조를 갖는가?

주요 결과

• 미분다양체의 접다양체 위에 정의된 임의의 $L^\infty$ 접속이 곡률까지 $L^\infty$일 경우, 임의의 $p<\infty$에 대해 좌표변환을 통해 $W^{1,p}$ 정칙성으로 변환 가능하며, 이는 곡률보다 한 단계 더 매끄럽다.
• 정규화하는 좌표변환의 야코비안을 다루는 간소화된 RT-방정식은 탄성계로서 $L^\infty$ 설정에서도 해를 갖는다. 이는 정규화 결과를 가능하게 한다.
• 정규화 좌표의 존재를 통해 우렌벡 컴팩트성은 임의의 미분다양체, 특히 로렌츠 다면체의 접다양체 접속으로까지 확장된다.
• 아인슈타인-유동체 방정식의 충격파 해에서 국소 관성좌표계와 고전적 지오데식이 $W^{1,p}$ 정칙성 덕분에 유지된다.
• 최적 정칙성과 우렌벡 컴팩트성은 추가 기하학적 가정 없이도 표준 접속 변환 법칙의 논리적 결과로 도출된다.
• 이론은 뉴턴 근사와 국소 관성좌표계가 일반상대성 이론에서 충격파가 존재하는 상황에서도 고전적 의미에서 존재함을 확인한다.