[논문 리뷰] Ulam-Hyers-Rassias stability for a class of fractional integro-differential equations

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 07.

Functional Equations Stability Results참고 문헌 19인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 유한 및 무한 구간에서 $ψ$-Hilfer 분수적 적분미분방정식에 대한 Ulam-Hyers-Rassias 안정성을 $ψ$-Hilfer 분수미분과 Banach 고정점 정리로 조사한다. 주요 기여는 Ulam-Hyers, Ulam-Hyers-Rassias 및 반- Ulam-Hyers-Rassias 안정성을 위한 충분조건을 수립함으로써 일반 핵 함수를 가진 보다 광범위한 분수방정식 클래스로 안정성 이론을 확장하는 것이다.

ABSTRACT

By means of the recent $\psi$-Hilfer fractional derivative and of the Banach fixed-point theorem, we investigate stabilities of Ulam-Hyers, Ulam-Hyers-Rassias and semi-Ulam-Hyers-Rassias on closed intervals $[a,b]$ and $[a,\infty)$ for a particular class of fractional integro-differential equations.

연구 동기 및 목표

• 일반 핵 함수를 가진 분수적 적분미분방정식의 안정성 분석을 $ψ$-Hilfer 도함수를 이용해 확장한다.
• 유한 및 무한 구간에서 Ulam-Hyers, Ulam-Hyers-Rassias 및 반- Ulam-Hyers-Rassias 안정성을 수립한다.
• 일반화된 분수적 미적분 프레임워크 내에서 고정점 이론을 이용해 안정성을 위한 충분조건을 제공한다.
• 비특이 및 특이 핵 함수를 가진 분수미분방정식에 대한 안정성 이론의 격차를 메운다.

제안 방법

• $ψ$ 함수를 포함한 분수미분의 일반화된 연산자로 $ψ$-Hilfer 분수미분을 활용한다.
• $ψ$-Hilfer 도함수와 볼테라 유형의 적분항을 포함하는 분수적 적분미분방정식의 클래스를 수립한다.
• 적절한 리프시츠 조건 하에서 해의 존재성과 유일성을 보일 수 있도록 Banach 고정점 정리를 적용한다.
• 고정점 프레임워크를 이용해 변형된 방정식의 해를 비교함으로써 안정도 추정치를 유도한다.
• $ψ$-Hilfer 프레임워크 내에서 Ulam-Hyers, Ulam-Hyers-Rassias 및 반- Ulam-Hyers-Rassias 안정성을 정의한다.
• 보편적 적용성을 위해 유한 구간 $[a,b]$와 무한 구간 $[a,∞)$에서의 안정성 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수적 적분미분방정식의 해는 $[a,b]$ 및 $[a,∞)$에서 어떤 조건 하에 Ulam-Hyers 안정성을 갖는가?
• RQ2 기본적인 분수미분에 비해 $ψ$-Hilfer 도함수는 시스템의 안정성 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 이 일반화된 분수모델의 맥락에서 Ulam-Hyers-Rassias 안정성을 위한 충분조건은 무엇인가?
• RQ4 동일한 종류의 방정식에 대해 반- Ulam-Hyers-Rassias 안정성이 무한 영역에서 확립될 수 있는가?
• RQ5 $ψ$-Hilfer 도함수에서 $ψ$ 함수의 선택은 안정성 결과에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• Ulam-Hyers 안정성은 $ψ$-Hilfer 도함수를 이용해 $[a,b]$ 및 $[a,∞)$에서 분수적 적분미분방정식에 대해 수립되었다.
• 제어 함수를 포함한 일반화된 리프시츠 조건 하에서 Ulam-Hyers-Rassias 안정성이 증명되었다.
• 반- Ulam-Hyers-Rassias 안정성은 무한 구간 $[a,∞)$에서 방정식에 대해 확보되었으며, 이는 이전 결과를 확장한다.
• 안정성 결과는 Banach 고정점 정리를 통해 도출되었으며, 해의 유일성과 강건성을 보장한다.
• 이 프레임워크는 일반 핵 함수 $ψ$에 대한 안정성 분석을 가능하게 하여 다양한 분수모델에의 적용 가능성을 높인다.
• 분석 결과, 안정성 성질이 유한 및 무한 시간 영역 모두에서 유지됨을 확인하였다.