[논문 리뷰] Ultradifferentiable CR manifolds

Stefan Fürdös|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 01.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 34인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 가중 수열로 정의된 Denjoy-Carleman 클래스를 사용하여 초미분 가능 CR 다양체를 도입하고, 목표 다양체가 형식적으로 해석적 비특이성일 경우, 이러한 다양체 사이의 유한히 비특이적인 CR 매핑이 {M} 클래스의 초미분 가능임을 증명한다. 주요 결과는 미세국소 분석과 거의 해석적 확장을 통해 Lamel의 정칙성 정리가 초미분 가능성 설정으로 확장됨을 보이며, 다변수 다양체가 준해석적이고 형식적으로 해석적 비특이성이면, 와이드 영역으로 국소적으로 연장되는 부드러운 CR 미분형상이 초미분 가능함을 증명한다.

ABSTRACT

Das Hauptthema dieser Arbeit ist die Untersuchung der Regularität von CR Abbildungen zwischen ultradifferenzierbaren CR Mannigfaltigkeiten. Ultradifferenzierbar ist hier im Sinne von Denjoy-Carleman Klassen gemeint, d.h. von Teilalgebren glatter Funktionen die durch Gewichtsfolgen definiert werden. Es werden hier hauptsächlich Denjoy-Carleman Klassen betrachtet, die (durch im Sinne von Dyn'kin reguläre) Gewichtsfolgen definiert sind. Insbesondere werden Reflektionsprinzipe von Lamel und Berhanu-Xiao für endlich nichtdegenerierte CR Abbildungen in die ultradifferenzierbare Kategorie verallgemeinert. Genauer wird gezeigt, dass jede endlich nichtdegenerierte CR Abbildung zwischen zwei ultradifferenzierbaren CR Mannigfaltigkeiten von derselben Denjoy-Carleman Klasse, die nahe eines Punktes eine holomorphe Ausdehnung in einen Wedge besitzt, nahe dieses Punktes ultradifferenzierbar von der gleichen Regularität wie die Mannigfaltigkeiten ist. Für den Beweis der obigen Aussage wird eine geometrische Theorie der ultradifferenzierbaren Wellenfrontmenge im Sinne von Denjoy-Carleman Klassen, welches ursprünglich von Hörmander definiert wurde, für reguläre Gewichtsfolgen entwickelt. Insbesonders wird ein Satz von Dyn'kin über die Charakterisierung von Elementen regulärer Denjoy-Carleman Klassen durch fast-analytische Ausdehnungen verwendet, um die Charakterisierung der ultradifferenzierbaren Wellenfrontmenge durch fast-analytische Ausdehnungen in flache Wedges bzw. durch die verallgemeinerte FBI Transformation im Sinne von Berhanu-Hounie zu zeigen. Dies erlaubt die invariante Definition der ultradifferenzierbare Wellenfrontmenge auf ultradifferenzierbare Mannigfaltigkeiten der selben Denjoy-Carleman Klasse zu geben. Weiters wird ein Satz über ultradifferenzierbare mikrolokale elliptische Regularität für vektorwertige Distributionen und Differentialoperatoren mit ultradifferenzierbaren Koeffizienten bewiesen, was Resultate von Hörmander, Albanese-Jornet-Oliaro und anderen verallgemeinert. Weiters werden die oben genannten Resultate für die ultradifferenzierbare Wellenfrontmenge dazu verwendet die Aussagen von Fürdös-Lamel bezüglich der Regularität von infinitesimalen CR Automorphismen auf abstrakten CR Mannigfaltigkeiten in die ultradifferenzierbare Kategorie zuverallgemeinern. Als weitere direkte Anwendung der mikrolokalen Techniken werden quasianalytische Verallgemeinerungen von Resultaten von Holmgren, Hörmander, Bony und Zachmanoglou über die Eindeutigkeit von Lösungen homogener Gleichungen gegeben.

연구 동기 및 목표

• 부드럽고 해석적 설정에서의 CR 매핑 정칙성 이론을 Denjoy-Carleman 수열로 정의된 초미분 가능성 설정으로 확장하는 것.
• 목표 다양체가 형식적으로 해석적 비특이성일 경우, 초미분 가능 CR 다양체 사이의 유한히 비특이적인 CR 매핑이 {M} 클래스의 초미분 가능함을 입증하는 것.
• 추상 초미분 가능 CR 다양체 위에서의 초미분 가능 정칙성에 대한 무한소 CR 자기동형사상의 연구.
• 거의 해석적 확장을 사용하여 초미분 가능 다양체 위의 초미분 가능성 파동프론트 집합을 위한 미세국소 프레임워크 개발.

제안 방법

• 가중 수열 M = (mj)j를 사용한 일반화된 코시 추정식을 통한 초미분 가능성 함수 정의로 Denjoy-Carleman 클래스 {M} 도출.
• Almost-analytic 확장을 통한 초미분 가능성 함수의 Dyn'kin 특성화를 이용해 초미분 가능성 다양체 위의 분포에 대한 초미분 가능성 파동프론트 집합 WFM(u) 정의.
• Lamel과 Berhanu-Xiao의 수정된 M-거의 해석적 은닉 함수 정리 버전을 적용하여 초미분 가능성 범주에서의 정칙성 증명.
• 다중항법을 통해 행렬식 Λ(α,r)을 사용하여 CR 다양체의 정칙성과 CR 벡터장의 행동 분석.
• 형식적 해석적 비특이성 조건을 활용하여 비자명한 다중항의 존재를 보장하고, 이를 통해 다중항 λ·Xj 에서의 초미분 가능성 성질을 벡터장 Xj 자체로 전파함.
• 부드러운 CR 미분형상이 가장자리 M을 가진 와이드 영역으로 국소적으로 연장될 경우, M이 형식적으로 해석적 비특이성이고 준해석적일 때, 그 미분형상은 {M} 클래스의 초미분 가능함을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Denjoy-Carleman 수열로 정의된 초미분 가능성 클래스로의 유한히 비특이적인 CR 매핑의 정칙성은 부드럽고 해석적 범주에서 확장될 수 있는가?
• RQ2 CR 매핑이 와이드 영역으로 미세국소적으로 연장될 경우, 어떤 조건에서 매핑이 {M} 클래스의 초미분 가능함을 보장하는가?
• RQ3 초미분 가능성 분포에 대해 초미분 가능성 파동프론트 집합의 개념은 초미분 가능성 다양체로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ4 형식적 해석적 비특이성은 초미분 가능성 무한소 CR 자기동형사상의 정칙성 확보에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 초미분 가능성 정규성 결과는 준해석적 가중 수열에 대해 안정적인가? 그리고 준해석성은 정규성 전파를 어떻게 촉진하는가?

주요 결과

• 목표 다양체가 형식적으로 해석적 비특이성일 경우, {M} 클래스의 초미분 가능 CR 다양체 사이의 유한히 비특이적인 CR 매핑은 {M} 클래스의 초미분 가능함이 입증된다.
• 가중 수열 M이 정규일 경우, 초미분 가능성 다양체 위의 분포에 대해 초미분 가능성 파동프론트 집합 WFM(u)는 잘 정의되어 있다.
• 준해석적 설정에서 점 p0에서 비자명한 형식적 멱급수 다중항이 존재하면, 그 점 주변의 부드러운 CR 벡터장은 {M} 클래스의 초미분 가능함을 보장한다.
• 증명은 M-거의 해석적 은닉 함수 정리와 연관되어 있으며, λ·Xj의 형식적 멱급수가 초미분 가능하면, λ가 p0에서 비자명한 테일러 급수를 가지면 Xj 역시 초미분 가능하다는 사실에 기반한다.
• 준해석적 다양체의 경우, 가장자리 M을 가진 와이드 영역으로 국소적으로 연장되는 모든 부드러운 CR 미분형상은 M이 형식적으로 해석적 비특이성이면 {M} 클래스의 초미분 가능함이 보장된다.
• CR 다양체의 구조 방정식에서 유도된 행렬식 Λ(α,r)는 CR 정칙성 확인 및 다중항법을 통한 매핑 행동 분석에 핵심 도구로 기능한다.