[논문 리뷰] Ultrametric pseudodifferential operators and wavelets for the case of non homogeneous measure

С. В. Козырев|arXiv (Cornell University)|2004. 12. 22.

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한 줄 요약

이 논문은 초등거리 공간에서 임의의 비균질 측도에 대해 $ L^2(X,\nu) $ 에서의 초등거리 웨이브릿의 정규직교 기저를 도입하며, 형식 $ Tf(x) = \int T^{(\text{sup}(x,y))}(f(x)-f(y))\,d\nu(y) $ 를 가진 임의의 미분형 연산자(PDO)가 이러한 기저에서 대각화됨을 증명한다. 주요 기여는 이러한 PDO의 고유값을 구한계의 체적과 커널 함수 $ T^{(I)} $ 로 표현하는 명시적 공식을 제시한 것으로, 이는 이전 결과를 비균질 측도로 일반화한 것이다.

ABSTRACT

A family of orthonormal bases of ultrametric wavelets in the space of quadratically integrable with respect to arbitrary measure functions on general (up to some topological restrictions) ultrametric space is introduced. Pseudodifferential operators (PDO) on the ultrametric space are investigated. We prove that these operators are diagonal in the introduced bases of ultrametric wavelets and compute the corresponding eigenvalues. Duality between ultrametric spaces and directed trees is discussed. In particular, a new way of construction of ultrametric spaces by completion of directed trees is proposed.

연구 동기 및 목표

• 비균질 측도의 경우, 즉 구의 체적이 반드시 동일하지 않은 경우에도 초등거리 미분형 연산자(PDO) 이론을 일반화하는 것.
• 완전한 초등거리 공간 $ X $ 에서 $ L^2(X,\nu) $ 에서 초등거리 웨이브릿의 정규직교 기저를 구성하는 것.
• 초등거리 공간과 방향 트리 사이의 이중성 관계를 수립하고, 완비화를 통한 초등거리 공간의 새로운 구성 방법을 제안하는 것.
• 웨이브릿 기저에서 PDO의 고유값을 계산하여 $ p $-진 및 균질 케이스에서의 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 완전한 초등거리 공간 $ X $ 에서의 구의 포함 관계로부터 방향 트리 $ \mathcal{T}(X) $ 를 정의하고, $ X \cup \mathcal{T}(X) $ 에 부분순서를 부여한다.
• 구의 특성 함수와 그 부분구의 특성 함수를 이용하여 $ L^2(X,\nu) $ 에서 정규직교 웨이브릿 기저 $ \psi_{Ij} $ 를 구성하며, 체적 정규화를 통해 직교성을 확보한다.
• 커널 함수 $ T^{(I)} $ 가 트리 $ \mathcal{T}(X) $ 에 정의된 함수일 때, $ Tf(x) = \int T^{(\text{sup}(x,y))}(f(x)-f(y))\,d\nu(y) $ 의 형태로 미분형 연산자 $ T $ 를 정의한다.
• 웨이브릿 $ \psi_{Ij} $ 가 $ T $ 의 고유벡터임을 증명하며, 고유값은 $ \lambda_I = T^{(I)}\nu(D_I) + \sum_{J>I} T^{(J)}(\nu(D_J) - \nu(D_{J-1,I})) $ 로 주어지며, 이때 급수의 절대수렴 조건이 필요하다.
• 초등거리 공간과 방향 트리 사이의 이중성을 활용하여 트리 위에 부분순서에서 유도된 거리함수를 정의하고, 이러한 트리의 완비화를 통해 초등거리 공간을 구성한다.
• 만약 $ T^{(I)} $ 가 실수값 함수이면 연산자 $ T $ 가 자기수반임을 확인하고, 상수 함수를 0으로 보낸다는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측도 $ \nu $ 가 비균질적(즉, 구의 체적이 임의의 양수일 수 있음)일 때, $ L^2(X,\nu) $ 에서 초등거리 웨이브릿의 정규직교 기저를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 형식 $ Tf(x) = \int T^{(\text{sup}(x,y))}(f(x)-f(y))\,d\nu(y) $ 의 미분형 연산자가 초등거리 웨이브릿 기저에서 언제 대각화되는가?
• RQ3 이러한 PDO의 고유값은 측도 $ \nu $ 와 커널 $ T^{(I)} $ 로 어떻게 명시적으로 표현할 수 있는가?
• RQ4 부분순서에서 유도된 거리함수를 이용하여 방향 트리에서 초등거리 공간을 체계적으로 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 한계 $ \lim_{J \to \infty} \left( \frac{1}{\nu(D_I)} - \frac{1}{\nu(D_J)} \right) $ 는 웨이브릿 기저에서 파르세발 항등식을 확보하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 임의의 $ \sigma $-加법적이고 가чёт기반인 측도 $ \nu $ 를 가진 완전한 초등거리 공간 $ X $ 에 대해 초등거리 웨이브릿의 정규직교 기저 $ \psi_{Ij} $ 가 구성되었으며, 이는 이전 결과를 비균질 측도로 일반화한 것이다.
• 형식 $ Tf(x) = \int T^{(\text{sup}(x,y))}(f(x)-f(y))\,d\nu(y) $ 의 미분형 연산자 $ T $ 는 웨이브릿 기저에서 대각화되며, 고유값은 $ \lambda_I = T^{(I)}\nu(D_I) + \sum_{J>I} T^{(J)}(\nu(D_J) - \nu(D_{J-1,I})) $ 로 주어지며, 이때 급수의 절대수렴 조건이 충족되어야 한다.
• 연산자 $ T $ 는 상수 함수를 0으로 보낸다. 이는 차분형 연산자의 성격을 확인하는 데 기여한다.
• 웨이브릿 기저는 파르세발 항등식을 만족하며, 유한한 극한 $ A $ 가 존재할 경우 $ \widetilde{\chi}_I $ 의 노름은 $ \nu^2(D_I) \left( \frac{1}{\nu(D_I)} - \frac{1}{A} \right) $ 로 계산된다. 항등식은 상수 노름 항을 추가함으로써 복원된다.
• 방향 트리의 완비화를 통한 초등거리 공간의 구성 방법이 타당함이 입증되었으며, 트리의 부분순서에서 유도된 거리함수가 해당 공간에 유도됨을 보였다.
• 초등거리 공간과 방향 트리 사이의 이중성은 엄밀하게 정의되었으며, 트리의 구조는 포함 관계의 계층적 구조를 캡슐화하고, 연산자 커널 $ T^{(I)} $ 의 정의를 가능하게 한다.