[논문 리뷰] Un exemple de feuilletage modulaire d\\'eduit d'une solution alg\\'ebrique de l'\\'equation de Painlev\\'e VI

Gaël Cousin|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 13.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 6차 피ence레 부등식의 대수적 해를 이용하여 프로젝티브 평면 위에 새로운 모듈라 폴리에이션을 구성한다. 단일 피복을 통해 힐베르트 모듈라 표면으로 실현하고, 단일 복소수의 모노드로미 분석을 통해 이를 수행한다. 주요 결과는 두 개의 수직으로 프로젝티브 폴리에이션을 가진 모듈라 표면의 비유사 모델로, 명시적으로 미분 1형식으로 주어지며, 이 두 폴리에이션을 서로 바꾸는 치환을 갖는다. 이는 코다이라 차원 분류와 PSL_2(Z[√3])-행동이 이중 디스크 위에 작용하는 것과의 연결을 통해 폴리에이션의 모듈라성을 증명한다.

ABSTRACT

One can easily give examples of rank 2 flat connections over $\\mathbb{P}^2$ by rational pull-back of connections over $\\mathbb{P}^1$. We give an example of a connection that can not occur in this way; this example is constructed from an algebraic solution of Painlev\\'e VI equation. From this example we deduce a Hilbert modular foliation. The proof of this relies on the classification of foliations on projective surfaces due to Brunella, Mc Quillan and Mendes. Then, we get the dual foliation and, by a precise monodromy analysis, we see that our twice foliated surface is covered by the classical Hilbert modular surface constructed from the action of $\\mathrm{PSL}_2(\\mathbb{Z}[\\sqrt{3}])$ on the bidisc.

연구 동기 및 목표

• 유리 표면에서 P^1으로부터의 풀백을 통해 구할 수 없는 새로운 모듈라 폴리에이션의 예를 구성하는 것.
• 특정 피ence레 부등식 6의 대수적 해가 수직으로 프로젝티브 폴리에이션을 유도하며, 이 폴리에이션에 모듈라 성질이 있음을 보여주는 것.
• 유도된 폴리에이션의 코다이라 차원이 -∞이고 ν = 1임을 증명하여 브루넬라-맥콰일런-멘데스 분류에 따라 모듈라 성질을 특징짓는 것.
• 쌍대 폴리에이션을 식별하고, P^2 위에서 두 폴리에이션을 서로 바꾸는 명시적 비유사 치환을 수립하는 것.
• 표면이 PSL_2(Z[√3])가 이중 디스크 위에 작용하는 것과 관련된 힐베르트 모듈라 표면의 이중 피복임을 보여주는 것.

제안 방법

• 피ence레 부등식 6의 대수적 해에서 유도된 P^1-포장 위의 P^1 × C 위에 리카티 폴리에이션 R을 구성한다.
• 리카티 폴리에이션의 Z/4Z 대칭성을 이용하여 새로운 포장 위에 몰수 폴리에이션 R~를 형성한다.
• 몰수 포장의 단면을 선택하여 P^2 위의 수직으로 프로젝티브 폴리에이션 F_ω를 얻는다.
• P^2 위에서 쌍대 폴리에이션을 정의하는 1형식 ω와 τ를 명시적으로 계산한다.
• 이중 피복을 적용하여 폴리에이션을 PSL_2(Z[√3])와 관련된 힐베르트 모듈라 표면으로 올리는 작업을 수행한다.
• 모노드로미 분석과 코다이라 차원에 의한 폴리에이션 분류를 통해 모듈라성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 피ence레 부등식 6의 대수적 해로부터 직접적으로 P^1으로부터의 풀백을 피하여, 유리 표면 위의 모듈라 폴리에이션을 구성할 수 있는가?
• RQ2 √3와 관련된 피ence레 부등식 6 해로부터 유도된 폴리에이션의 모노드로미와 기하학적 불변량은 무엇인가?
• RQ3 P^2 위에서 쌍대 폴리에이션과 두 폴리에이션을 서로 바꾸는 치환을 명시적으로 기술할 수 있는가?
• RQ4 유도된 P^2 위의 폴리에이션은 코다이라 차원이 -∞이고 ν = 1인가, 이는 그 모듈라성을 확인하는가?
• RQ5 표면은 PSL_2(Z[√3])가 이중 디스크 위에 작용하는 것과 관련된 힐베르트 모듈라 표면의 이중 피복인가?

주요 결과

• 논문은 명시적인 1형식 ω와 τ를 갖는 이중 피드듈 표면 (P^2, {F_ω, G_τ})로서 힐베르트 모듈라 표면의 비유사 모델을 구성한다.
• 폴리에이션 F_ω는 코다이라 차원 불변량을 통해 모듈라임이 입증된다: kod = -∞ 이고 ν = 1 이다.
• P^2 위의 명시적 비유사 치환 σ가 F_ω와 G_τ를 서로 바꾸며, 이는 쌍대성의 확인을 제공한다.
• 표면은 PSL_2(Z[√3])와 관련된 힐베르트 모듈라 표면의 이중 피복임을 확인하여, 그 모듈라 기원을 입증한다.
• 이 방법은 PSL_2(Z[√3])의 허위츠-마우스 확장을 폴리에이션의 모노드로미 군으로 실현한다.
• 이 방법은 이전의 [MP05]에서의 구성들과 다를 바 있는, 풀백이 아닌 새로운 모듈라 폴리에이션의 예를 제공한다.