[논문 리뷰] Unbounded derivations, free dilations and indecomposability results for II$_1$ factors

Yoann Dabrowski, Adrian Ioana|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 27.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 52인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 비유계로 닫힐 수 있는 도함수를 사용하여 II$_1$ 초급수의 약한 조건을 정립한다. 비아메니티블인 II$_1$ 초급수가 실수 값의 비유계로 닫힐 수 있는 도함수를 가지며, 그 정의역이 비아메니티블 세트를 포함하면, 그 초급수는 약한 조건을 만족하고 성질 Gamma를 갖지 않으며, 이는 초급수가 소수임을 의미한다. 더 나아가 도함수가 대수적일 경우, 그 초급수는 카르탕 부분대수를 갖지 않는다. 이러한 결과는 자유군 초급수와 HNN 확장에 적용되어, 특정 군 von Neumann 대수에서 카르탕 부분대수의 유일성을 보여준다.

ABSTRACT

We give sufficient conditions, in terms of the existence of unbounded derivations satisfying certain properties, which ensure that a II$_1$ factor $M$ is prime or has at most one Cartan subalgebra. For instance, we prove that if there exists a real closable unbounded densely defined derivation $\\delta:M\ ightarrow L^2(M)\\bar{\\otimes}L^2(M)$ whose domain contains a non-amenability set, then $M$ is prime. If $\\delta$ is moreover "algebraic" (i.e. its domain $M_0$ is finitely generated, $\\delta(M_0)\\subset M_0\\otimes M_0$ and $\\delta^*(1\\otimes 1)\\in M_0$), then we show that $M$ has no Cartan subalgebra. We also give several applications to examples from free probability. Finally, we provide a class of countable groups $\\Gamma$, defined through the existence of an unbounded cocycle $b:\\Gamma\ ightarrow \\mathbb C(\\Gamma/\\Lambda)$, for some subgroup $\\Lambda<\\Gamma$, such that the II$_1$ factor $L^{\\infty}(X)\ times\\Gamma$ has a unique Cartan subalgebra, up to unitary conjugacy, for any free ergodic probability measure preserving (pmp) action $\\Gamma\\curvearrowright (X,\\mu)$.

연구 동기 및 목표

• 비유계 도함수에 기반한 충분조건을 규명하여 II$_1$ 초급수가 소수이거나 최대 한 개의 카르탕 부분대수를 갖는 조건을 도출한다.
• 특정 정규성 및 정의역 성질을 갖는 도함수를 도입함으로써, 변형/고정성 이론 내 기존의 강성 결과를 확장한다.
• 이러한 조건을 자유 확률론과 군 von Neumann 대수의 예시, 특히 HNN 확장에 적용한다.
• 특정 군 작용이 확률 공간 위에 자유적이고 에르고딕인 경우, 카르탕 부분대수의 유일성을 유니터리 쌍대변환에 대해 보장한다.
• 자유군 초급수 및 하이퍼볼릭 군에서 카르탕 부분대수의 부재성과 소수성에 관한 이전 결과를 일반화한다.

제안 방법

• 논문은 II$_1$ 초급수 $M$의 약한 조밀한 \'*\'-부분대수 $M_0$ 에 대해 정의된 비유계로 닫힐 수 있는 도함수 $\delta: M_0 \to (L^2(M)\overline{\otimes}L^2(M))^{\oplus\infty}$ 를 사용한다.
• 원소의 집합이 $M$ 내에서 비아메니티블 세트로 간주되며, 이는 일반적인 스펙트럴 갭 조건을 통해 군의 대체 이중모듈러의 비아메니티블성을 특징짓는다.
• 도함수가 실수이면서 닫힐 수 있고, 정의역이 비아메니티블 세트를 포함하도록 요구됨으로써, $M$ 이 $L^2$-고정성을 갖지 않음을 보장한다.
• 대수적 도함수의 경우—즉, $M_0$ 가 유한 생성이며, $\delta(M_0) \subset M_0 \otimes M_0$ 이고, $\delta^*(1\otimes 1) \in M_0$ 이면—논문은 $M$ 이 카르탕 부분대수를 갖지 않음을 증명한다.
• 군 von Neumann 대수에 대해 비유계 코사이클 $b: \Gamma \to \mathbb{C}(\Gamma/\Lambda)$ 를 통해 군 이론적 성질과 von Neumann 대수적 구조를 연결한다.
• 증명은 스펙트럴 갭 고정성과 특정 군 집합 위에서의 불변 유한가측 측도의 부재성에 기반하며, 내부 아메니티비티와 코아메니티비티에 대한 모순을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유계 도함수의 어떤 조건에서 II$_1$ 초급수가 소수이면서 성질 Gamma를 갖지 않는가?
• RQ2 대수적 비유계 도함수가 존재할 경우, II$_1$ 초급수가 카르탕 부분대수를 갖지 않는가?
• RQ3 모든 자유적이고 에르고딕인 pmp 작용에 대해 $\Gamma \curvearrowright (X,\mu)$ 에 대해, $\Gamma$ 가 비유계 코사이클 $b: \Gamma \to \mathbb{C}(\Gamma/\Lambda)$ 을 갖는다면, $L^\infty(X) \rtimes \Gamma$ 는 유니터리 쌍대변환에 대해 유일한 카르탕 부분대수를 갖는가?
• RQ4 자기의 코너를 공유하는 $\Lambda$ 의 공액류의 교차가 자명한 HNN 확장은 내부 아메니티비티와 코아메니티비티 측면에서 어떻게 행동하는가?
• RQ5 특정 정의역 및 대수적 조건을 갖는 비유계 도함수가 존재할 경우, 군 von Neumann 대수의 어떤 구조적 성질이 유도되는가?

주요 결과

• 비아메니티블인 II$_1$ 초급수 $M$ 이 실수 값의 비유계로 닫힐 수 있는 도함수를 가지며, 그 정의역이 비아메니티블 세트를 포함하면, $M$ 은 $L^2$-고정성이 없으며, 따라서 소수이자 성질 Gamma를 갖지 않는다.
• 도함수가 대수적일 경우(유한 생성된 정의역, 이미지가 텐서곱에 포함되며, 수반 조건을 만족하면), $M$ 은 카르탕 부분대수를 갖지 않는다.
• 모든 자유적이고 에르고딕인 pmp 작용 $\Gamma \curvearrowright (X,\mu)$ 에 대해, $\Gamma$ 가 비유계 코사이클 $b: \Gamma \to \mathbb{C}(\Gamma/\Lambda)$ 을 갖는다면, $L^\infty(X) \rtimes \Gamma$ 는 유니터리 쌍대변환에 대해 유일한 카르탕 부분대수를 갖는다.
• 자기의 코너를 공유하는 $\Lambda$ 의 공액류의 교차가 자명한 HNN 확장 $\Gamma = \text{HNN}(G,\Lambda,\theta)$ 는 내부 아메니티블이 아니며, $\Lambda$ 는 $\Gamma$ 에서 코아메니티블이 아니므로, 이에 대응하는 군 초급수는 성질 Gamma를 갖지 않는다.
• 이러한 HNN 확장에 대해 정의된 군 초급수 $L(\Gamma)$ 는 소수이며, 카르탕 부분대수를 갖지 않으며, 자유군 초급수에 대한 이전 결과를 일반화한다.
• HNN 확장에 정의된 비유계 코사이클 $b$ 는 $\|b((gt)^n)\|_2 = \sqrt{n}$ 을 만족하여, 그 비유계성과 주요 정리의 적용 가능성을 확인한다.