[논문 리뷰] Unbounded Fredholm modules and double operator integrals

Denis Potapov, Fedor Sukochev|ArXiv.org|2008. 08. 21.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 반유한 비가환 기하학에서 연산자 $ D \mapsto F_D = D(1+D^2)^{-1/2} $ 의 코무터 추정과 연속 미분 가능성에 대해 정립한다. 만약 $ (1+D_0^2)^{-1/2} \in \mathcal{E} $ 이고 $ D - D_0 \in \mathcal{M} $ 이면, $ \|f(D) - f(D_0)\|_{\mathcal{E}} \leq C \|D - D_0\|_{\mathcal{M}} $ 를 증명한다. 이 결과는 유계 프레드홀름 모듈 $ F_D $ 가 $ \mathcal{E} $-summability를 유지하고, 매핑이 연속적으로 미분 가능하다는 것을 보장하며, 스펙트럼 플로우 이론에서 이전에 필요로 하던 기술적 가정을 제거한다.

ABSTRACT

In noncommutative geometry one is interested in invariants such as the Fredholm index or spectral flow and their calculation using cyclic cocycles. A variety of formulae have been established under side conditions called summability constraints. These can be formulated in two ways, either for spectral triples or for bounded Fredholm modules. We study the relationship between these by proving various properties of the map on unbounded self adjoint operators $D$ given by $f(D)=D(1+D^2)^{-1/2}$. In particular we prove commutator estimates which are needed for the bounded case. In fact our methods work in the setting of semifinite noncommutative geometry where one has $D$ as an unbounded self adjoint linear operator affiliated with a semi-finite von Neumann algebra $\aM$. More precisely we show that for a pair $D,D_0$ of such operators with $D-D_0$ a bounded self-adjoint linear operator from $\aM$ and $ ({\bf 1}+D_0^2)^{-1/2}\in \sE$, where $\sE$ is a noncommutative symmetric space associated with $\aM$, then $$ \Vert f(D) - f (D_0) \Vert_{\sE} \leq C\cdot \Vert D-D_0\Vert_{\aM}. $$ This result is further used to show continuous differentiability of the mapping between an odd $\sE$-summable spectral triple and its bounded counterpart.

연구 동기 및 목표

• 반유한 볼로노이 대수의 맥락에서 연산자 $ D \mapsto F_D = D(1+D^2)^{-1/2} $ 의 코무터 추정을 정립하는 것.
• $ (1+D^2)^{-1/2} $ 가 $ \mathcal{E} $-summable 이면, 유계 프레드홀름 모듈 $ F_D $ 도 $ \mathcal{E} $-summable 임을 보이는 것.
• $ \mathcal{M} $ 내의 유계 자기수반 변형의 애핀 공간에서 매핑 $ D \mapsto F_D $ 가 연속적으로 미분 가능하다는 것을 증명하는 것.
• 스펙트럼 플로우 이론에서 이전에 필요로 하던 기술적 가정을 제거하기 위해, 비유계에서 유계 프레드홀름 모듈로의 매핑의 스무스함을 확립하는 것.

제안 방법

• 저자들은 비유계 자기수반 연산자 $ D $ 에서 함수 $ f(t) = t / \sqrt{1 + t^2} $ 를 분석하고, $ F_D = f(D) $ 를 정의한다.
• 그들은 함수 해석학과 연산자 $ T_{\psi_f}(D, D_0) $ 를 통해 이중 연산자 적분을 사용하여 $ f(D) - f(D_0) $ 의 표현을 한다.
• 핵심 추정은 비가환 대칭 공간 $ \mathcal{E} $ 에서의 일반화된 헬더 부등식에 기반하며, $ \|T_{\psi_f}(D, D_0)\|_{B(\mathcal{L}^\infty, \mathcal{E})} \leq c $ 의 유계성을 확보한다.
• 미분 가능성의 증명은 도함수의 분해 $ \frac{dF_t}{dt} = T_{\psi_f}(D_t, D_t) \frac{dD_t}{dt} $ 를 사용하며, 이는 $ \mathcal{E} $-노름에서 수렴한다.
• 도함수의 연속성은 차이 $ \frac{dF_t}{dt}(s) - \frac{dF_t}{dt}(0) $ 를 세 개의 항으로 나누어, $ s \to 0 $ 일 때 각 항이 $ \mathcal{E} $ 내에서 0으로 수렴함을 보여서 증명한다.
• 분석은 정상적이고 충실한 추적 측도 $ \tau $ 를 가진 반유한 볼로노이 대수의 프레임워크에서 수행되며, $ \mathcal{E} $ 는 $ \tau $-측정 가능한 연산자의 비가환 대칭 공간이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반유한 비가환 기하학에서 매핑 $ D \mapsto F_D = D(1+D^2)^{-1/2} $ 가 $ \mathcal{E} $-summability 를 유지하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 스체텐 또는 딕스미에르 아이디얼에 제한하지 않고도 코무터 추정 $ \|[F_D, a]\|_{\mathcal{E}} \leq c \|[D, a]\| $ 을 확립할 수 있는가?
• RQ3 일반적인 $ \mathcal{E} $-summability 조건 하에서 비유계에서 유계 프레드홀름 모듈로의 매핑이 연속적으로 미분 가능한가?
• RQ4 비유계 자기수반 연산자 경로를 따라의 $ f(D) $ 의 연산자 미분 가능성은 스펙트럼 플로우와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이 프레임워크를 통해 스펙트럼 플로우 이론에서 $ D_0 $ 과 경로 $ D_t $ 에 대한 이전의 기술적 가정을 제거할 수 있는가?

주요 결과

• 비유계 자기수반 연산자 $ D, D_0 $ 와 $ D - D_0 \in \mathcal{M} $ 이고 $ (1+D_0^2)^{-1/2} \in \mathcal{E} $ 이면, 매핑 $ D \mapsto F_D = D(1+D^2)^{-1/2} $ 는 추정 $ \|f(D) - f(D_0)\|_{\mathcal{E}} \leq C \|D - D_0\|_{\mathcal{M}} $ 을 만족한다.
• $ (1+D^2)^{-1/2} \in \mathcal{E} $ 이면 유계 프레드홀름 모듈 $ F_D $ 는 $ \mathcal{E} $-summable 이며, $ [D, a] \in \mathcal{B}(\mathcal{H}) $ 이면 $ [F_D, a] \in \mathcal{E} $ 임을 따른다.
• $ D_0 $ 의 유계 자기수반 변형의 애핀 공간에서 매핑 $ D \mapsto F_D $ 는 연속적으로 미분 가능하며, 도함수는 $ \frac{dF_t}{dt} = T_{\psi_f}(D_t, D_t) \frac{dD_t}{dt} $ 로 주어진다.
• $ \frac{dD_t}{dt} $ 가 연산자 노름에서 연속이면, 도함수 $ \frac{dF_t}{dt} $ 는 $ \mathcal{E} $-노름에서 연속적이다.
• 이 결과는 이전에 필요로 하던 스펙트럼 플로우 이론의 기술적 가정을 제거한다. 이제 매핑의 스무스함이 일반적인 $ \mathcal{E} $-summability 조건 하에서 확립되었다.
• 증명은 이중 연산자 적분 기법과 비가환 대칭 공간에서의 일반화된 헬더 부등식에 기반하며, 연산자 $ T_{\psi_f} $ 에 대한 균일한 유계성을 확보한다.