[논문 리뷰] Unbounded Induced Representations of *-Algebras

Yu. Savchuk, Konrad Schmuedgen|arXiv (Cornell University)|2008. 06. 15.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 조건부 기대와 양성 조건을 사용하여 군-그레이딩된 $*$-대수의 유계가 아닌 유도된 $*$-표현 이론을 수립한다. 특히 항등원 성분이 교환 가능한 군-그레이딩된 $*$-대수에 초점을 맞춘다. 완전한 매킷지 이론을 수립하고, 두 가지 버전의 불가약성 정리(Imprimitivity Theorem)를 증명하며, 잘 행동하는 표현들이 순환 표현들의 직합임을 보이고, 유도 연산에 대해 닫혀 있음을 보여준다. 이론은 와일 대수, $su(2)$, $su(1,1)$, 바이라소르 대수, 그리고 동역학계에 응용된다.

ABSTRACT

Induced representations of $\ast$-algebras by unbounded operators in Hilbert space are investigated. Conditional expectations of a $\ast$-algebra $\cA$ onto a unital $\ast$-subalgebra $\cB$ are introduced and used to define inner products on the corresponding induced modules. The main part of the paper is concerned with group graded $\ast$-algebras $\cA=\oplus_{g\in G}\cA_g$ for which the *-subalgebra $\cB:=\cA_e$ is commutative. Then the canonical projection $p:\cA o\cB$ is a conditional expectation and there is a partial action of the group $G$ on the set $\cBp$ of all characters of $\cB$ which are nonnegative on the cone $\sum\cA^2\cap\cB.$ The complete Mackey theory is developed for $\ast$-representations of $\cA$ which are induced from characters of $\cBp.$ Systems of imprimitivity are defined and two versions of the imprimitivity theorem are proved in this context. A concept is well-behaved $\ast$-representations of such $\ast$-algebras $\cA$ is introduced and studied. It is shown that well-behaved representations are direct sums of cyclic well-behaved representations and that induced representations of well-behaved representations are again well-behaved. The theory applies to a large variety of examples. For important examples such as the Weyl algebra, enveloping algebras of the Lie algebras $su(2),$ $su(1,1)$, and of the Virasoro algebra, and $\ast$-algebras generated by dynamical systems our theory is carried out in great detail.

연구 동기 및 목표

• 복소계 단위 $*$-대수에 대해 $C^*$-대수 프레임워크를 초월하여 유도된 $*$-표현의 체계적인 이론을 수립한다.
• 일반적인 $*$-대수에서의 양성 조건 문제를 해결하기 위해, $\sum \mathcal{A}^2 \cap \mathcal{B}$의 원소에서 양성을 유지하는 새로운 조건부 기대의 개념을 도입한다.
• 항등원 성분이 교환 가능한 $*$-부분대수 $\mathcal{B}$의 양성 코너에서의 특성에 대해, $*$-표현을 유도하는 완전한 매킷지 유형 이론을 수립한다.
• 잘 행동하는 $*$-표현의 개념을 도입하고, 그것들이 순환 표현들의 직합임을 보이며, 유도 연산에 대해 닫혀 있음을 보인다.
• 와일 대수, $su(2)$, $su(1,1)$, 바이라소르 대수, 그리고 동역학계에서 유도된 $*$-대수를 포함한 핵심 예시에 이론을 적용한다.

제안 방법

• 조건부 기대 $p: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$를 $\mathcal{B}$-선형, $*$-보존, 단위원을 갖는 사영으로 정의하며, $p(\sum \mathcal{A}^2) \subseteq \mathcal{B} \cap \sum \mathcal{A}^2$를 만족시켜 양성 조건과의 호환성을 확보한다.
• 유도 모듈 $\mathcal{A} \otimes_\mathcal{B} V$ 위에 내적을 $\langle a_1 \otimes v_1, a_2 \otimes v_2 \rangle_0 := \langle p(a_2^*a_1)v_1, v_2 \rangle$로 정의하여 힐버트 공간 완비화를 가능하게 한다.
• $\widehat{\mathcal{B}}^+$를 $\mathcal{B} \cap \sum \mathcal{A}^2$에서 비음성인 특성들의 집합으로 정의하여, 표현을 유도하는 정의역을 형성한다.
• 군 $G$의 부분적 작용을 $\widehat{\mathcal{B}}^+$ 위에 도입하여, 고전적 매킷지 기계를 비유계 연산자와 $C^*$-대수 외부의 설정으로 일반화한다.
• 단위 연산자에 의해 구현된 시스템의 불가약성을 갖는 $L^2(\widehat{\mathcal{B}}^+, \mu)$ 위에 $\mathcal{A}$-모듈의 구조를 구성함으로써, 두 가지 버전의 불가약성 정리를 증명한다.
• 스펙트럴 이론을 사용하여 $\mathcal{B}$의 적분 가능 $*$-표현 $\pi$를 $\widehat{\mathcal{B}}^+$에 지지된 스펙트럴 측도 $E_\pi$와 연관지워, $\pi(b)$의 양성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준적인 $C^*$-대수 방법이 실패할 경우, 힐버트 공간 내에서 비유계 연산자에 대해 어떻게 유도된 $*$-표현을 정의할 수 있는가?
• RQ2 일반적인 $*$-대수에서 양성을 유지하고, 유도된 모듈 위에 내적을 구성할 수 있도록 하는 적절한 조건부 기대의 개념은 무엇인가?
• RQ3 매킷지의 유도 표현 이론과 불가약성 정리를 비유계 표현을 갖는 군-그레이딩된 $*$-대수로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ4 어떤 조건들이 $*$-표현이 잘 행동하는지 보장하며, 이러한 클래스는 유도와 직합 연산에 대해 어떻게 행동하는가?
• RQ5 잘 행동하는 표현의 유도 표현이 와일 대수나 바이라소르 대수와 같은 핵심 예시에서 기약 표현과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 군-그레이딩된 $\mathcal{A}$와 교환 가능한 $\mathcal{B} = \mathcal{A}_e$일 경우, 자연스러운 사영 $p: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$는 조건부 기대가 되며, 이는 유도 표현의 구성에 기여한다.
• 특성들이 $\mathcal{B} \cap \sum \mathcal{A}^2$에서 비음성인 $\widehat{\mathcal{B}}^+$에서의 유도 표현은 잘 정의되어 있으며, 유도된 모듈 위에 양성 정의 내적을 유도한다.
• 불가약성 시스템이 정의되고, 두 가지 버전의 불가약성 정리가 증명되어, 유도 표현과 $L^2(\widehat{\mathcal{B}}^+, \mu)$ 위의 공변 표현 사이의 동치성을 확립한다.
• 모든 잘 행동하는 $\mathcal{A}$의 $*$-표현은 순환 표현들의 직합이며, 잘 행동하는 표현의 유도 표현 역시 여전히 잘 행동한다.
• $\mathcal{B}$의 적분 가능 $*$-표현 $\pi$와 관련된 스펙트럴 측도 $E_\pi$는 $\widehat{\mathcal{B}}^+$에 지지되어 있으며, $b \in \mathcal{B} \cap \sum \mathcal{A}^2$에 대해 $\pi(b)$의 양성을 보장한다. 이는 이론의 핵심 요소이다.