[논문 리뷰] Unbounded loops in quantum programs: categories and weak while loops

Pablo Andrés-Martí­nez|arXiv (Cornell University)|2022. 12. 10.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 추적 가능한 모나드 카테고리와 함께 유계가 아닌 양자 루프를 위한 범주론적 프레임워크를 제안하고, 측정 강도를 조절함으로써 양자 속도 향상을 유지하는 고전적으로 제어되는 $\kappa$-while 루프를 제안한다. 유한 차원 및 무한 차원 힐베르트 공간에서 실행 공식이 범주적 트레이스로 증명되어 일관된 양자 반복과 약한 측정 기반의 루프 제어를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Control flow of quantum programs is often divided into two different classes: classical and quantum. Quantum programs with classical control flow have their conditional branching determined by the classical outcome of measurements, and these collapse quantum data. Conversely, quantum control flow is coherent, i.e. it does not perturb quantum data; quantum walk-based algorithms are practical examples where coherent quantum feedback plays a major role. This dissertation has two main contributions: (i) a categorical study of coherent quantum iteration and (ii) the introduction of weak while loops. (i) The objective is to endow categories of quantum processes with a traced monoidal structure capable of modelling iterative quantum loops. To this end, the trace of a morphism is calculated via the execution formula, which adds up the contribution of all possible paths of the control flow. Haghverdi's unique decomposition categories are generalised to admit additive inverses and equipped with convergence criteria using basic topology. In this setting, it is possible to prove the validity of the execution formula as a categorical trace on certain categories of quantum processes. (ii) A weak while loop is a classical control flow primitive that offers a trade-off between the collapse caused on each iteration and the amount of information gained. The trade-off may be adjusted by tuning a parameter and, in certain situations, it is possible to set its value so that we may control the algorithm without sacrificing its quantum speed-up. As an example, it is shown that Grover's search problem can be implemented using a weak while loop, maintaining the same time complexity as the standard Grover's algorithm (as previously shown by Mizel).

연구 동기 및 목표

• 유한 차원 힐베르트 공간에서의 추적 가능한 모나드 구조를 이용한 일관된 양자 반복의 범주론적 기초를 마련하는 것.
• 위상 기반 수렴 조건과 함께 덧셈 역원을 포함하는 하그버디의 분해 카테고리의 일반화.
• 측정 붕괴와 정보 획득 사이의 균형을 맞추는 고전적으로 제어되는 루프로서 $\kappa$-while 루프를 도입하는 것.
• 측정 강도 $\kappa$를 조절함으로써 유계가 아닌 루프에서 양자 속도 향상이 유지될 수 있음을 보이는 것.
• CPTR 카테고리에서의 함자적 구성과 동형사상에 기반한 약한 while 루프에 대한 의미론적 의미를 제공하는 것.

제안 방법

• 유일한 분해 카테고리의 일반화를 통해 덧셈 역원을 포함하고, 위상 기반 기준을 사용하여 수렴을 정의하는 것.
• 실행 공식을 사용하여 사전 제어 흐름 경로의 합으로 사상의 트레이스를 계산하는 것.
• 함자 $F$를 $\sigma$-모노이드에서 CPTR로 사용하여 $\kappa$-while 루프를 구성하고, 동형사상 $h$와 표준 포함 사상 $\theta, \phi$를 활용하는 것.
• $\mathrm{Wk}_{\kappa,Q}(\mathcal{C})$를 $\phi \circ F(h \circ E_{\kappa,Q}) \circ (\mathcal{C} \otimes \mathrm{id}) \circ F(h^{-1}) \circ \theta$를 사용하여 $\mathbf{CPTR}$ 내의 사상으로 정의하는 것.
• 준-투사 $\pi_{\bot}, \pi_{\top}$와 포함 사상 $\iota_{\bot}, \iota_{\top}$를 사용하여 루프의 동작을 행렬 분해로 표현하는 것.
• 푸리에 분해와 시간 이동 불변성에 기반하여 $(\mathbf{LSI}_{\leq}, \oplus, \mathrm{ex})$가 완전히 추적 가능하다는 것을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 차원 및 무한 차원 힐베르트 공간에서 추적 가능한 트레이스 구조를 사용하여 유계가 아닌 양자 루프를 공식적으로 모델링할 수 있는가?
• RQ2 측정에 의한 붕괴를 최소화하면서도 양자 속도 향상을 유지할 수 있는 고전적으로 제어되는 루프는 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ3 약한 while 루프의 반복 횟수가 높은 확률로 유계가 되도록 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 시간 이동 불변 시스템에서 일관된 양자 피드백에 대해 범주론적 트레이스를 정의할 수 있는가?
• RQ5 $\kappa$-while 루프를 사용하여 표준 알고리즘과 동일한 시간 복잡도로 그로버의 검색을 구현할 수 있는가?

주요 결과

• 실행 공식이 유한 차원 힐베르트 공간 위의 양자 프로세스 카테고리에서 범주론적 트레이스로 정당화됨이 증명됨.
• 이산 시간에서 시간 이동 불변 양자 프로세스의 카테고리가 푸리에 분해를 통해 완전히 추적 가능하다는 것이 입증됨.
• $\kappa$-while 루프는 루프 본문 $\mathcal{C}$를 $\mathbf{CPTR}$ 내의 약한 측정된 대응체로 매핑하는 함자적 구성에 의해 공식적으로 정의됨.
• 최적의 측정 강도 $\kappa$로 구현할 경우, 표준 그로버 알고리즘과 동일한 시간 복잡도를 유지함.
• 최악의 경우 반복 횟수를 임의로 높은 확률로 추정할 수 있는 충분한 조건이 제공됨.
• 측정 붕괴와 정보 획득 사이의 균형을 맞추기 위해 $\kappa$를 조절함으로써 양자 속도 향상이 유지됨이 보장됨.