[논문 리뷰] Unbounded Norm Convergence in Banach Lattices

Yang Deng, Mick O'Brien외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 11.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 10인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 격자에서 비한정 노름 수렴(un-convergence)을 도입하고 조사한다. 이는 모든 양의 $u$에 대해 조건 $\lVert |x_\alpha - x| \wedge u \rVert \to 0$ 으로 정의되며, 이는 노름 수렴의 일반화임을 보이고, 수렴이 위상적임을 증명한다. 이는 수렴이 un-convergence와 정확히 일치하는 하우스도르프 선형 위상이 존재함을 의미한다.

ABSTRACT

A net $(x_α)$ in a vector lattice $X$ is unbounded order convergent to $x \in X$ if $\lvert x_α- x vert \wedge u$ converges to $0$ in order for all $u\in X_+$. This convergence has been investigated and applied in several recent papers by Gao et al. It may be viewed as a generalization of almost everywhere convergence to general vector lattices. In this paper, we study a variation of this convergence for Banach lattices. A net $(x_α)$ in a Banach lattice $X$ is unbounded norm convergent to $x$ if $\lVert\lvert x_α- x vert \wedge u Vert o 0$ for all $u\in X_+$. We show that this convergence may be viewed as a generalization of convergence in measure. We also investigate its relationship with other convergences.

연구 동기 및 목표

• 바나흐 격자에서 노름 수렴의 일반화로 간주되는 비한정 노름 수렴(un-convergence)을 형식화하고 연구하는 것.
• un-convergence와 다른 수렴 유형(순서 수렴, uo-수렴, 노름 수렴 등) 간의 관계를 조사하는 것.
• 바나흐 격자 맥락에서 un-convergence가 수렴의 측도로 일반화됨을 보이는 것.
• un-convergence가 위상적임을 증명하기 위해 하우스도르프 선형 위상을 명시적으로 구성함으로써, 그 수렴이 un-convergence와 정확히 일치함을 보이는 것.
• sublattice에서의 un-convergence의 한계와 순서 연속성 가정 하에서의 성질을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 모든 $u \in X_+$에 대해 조건 $\lVert |x_\alpha - x| \wedge u \rVert \to 0$ 으로 un-convergence를 정의함으로써, 노름 수렴을 일반화한다.
• 모든 $u \in X_+$와 $\varepsilon > 0$에 대해 $V_{u,\varepsilon} = \{x \in X : \lVert |x| \wedge u \rVert < \varepsilon\}$ 로 구성된 이웃 기저 $\mathcal{N}_0$ 를 구성한다.
• 교차, 덧셈, 스칼라 곱에 대한 닫힘성을 확인함으로써 $\mathcal{N}_0$ 이 하우스도르프 선형 위상의 이웃 기저가 되는지 검증한다.
• 모든 $V_{u,\varepsilon} \in \mathcal{N}_0$ 가 네티의 尾을 포함할 때 $x_\alpha \xrightarrow{\mathrm{un}} x$ 임을 보이는 것과 동치임을 증명한다.
• 부등식 $|x+y| \wedge u \leq |x| \wedge u + |y| \wedge u$ 를 사용하여 위상 구성에서 가환성과 노름 제어를 확립한다.
• 비한정 노름 수렴이 부분격자 포함 사상에서 보존되지 않음을 보이며, $\ell_\infty$ 및 $\ell_1 \oplus_\infty \ell_\infty$ 에서의 반례를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 바나흐 격자에서의 un-convergence는 수렴의 측도와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 un-convergence는 위상적인가? 만약 그렇다면, 명시적인 위상 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ3 un-convergence는 uo-수렴 또는 노름 수렴과 같은 다른 수렴 유형을 함의하거나 따름가능한가?
• RQ4 어떤 조건에서 부분격자에서의 un-convergence가 전체 공간에서의 un-convergence를 함의하는가?
• RQ5 바나흐 격자 맥락에서 un-convergence는 이웃 기저를 통해 특징지을 수 있는가?

주요 결과

• un-convergence는 수렴의 측도를 일반화한다: $L_p$-공간에서 un-convergence는 수렴의 측도와 일치한다.
• un-convergence는 위상적이다: 수렴이 정확히 un-convergence와 일치하는 하우스도르프 선형 위상이 존재하며, 이에 대한 이웃 기저 $V_{u,\varepsilon}$ 가 존재한다.
• 위상은 하우스도르프이다: $\bigcap \mathcal{N}_0 = \{0\}$ 이므로 극한의 유일성이 보장된다.
• 노름 수렴은 un-convergence를 함의하며, un-convergence는 부분넷과 선형 조합에서 보존된다.
• un-convergence는 부분격자 포함 사상에서 보존되지 않는다: 어떤 수열은 부분격자에서는 un-영이지만 전체 공간에서는 그렇지 않을 수 있다.
• 순서 연속성은 필수적이다: 순서 연속적인 바나흐 격자에서는 uo-수렴이 un-convergence를 함의하지만, 순서 연속성이 없으면 이 성립하지 않는다.