[논문 리뷰] Uncertainty quantification in geostatistical approach to inverse problems

Arvind K. Saibaba, Peter K. Kitanidis|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 04.

Soil Geostatistics and Mapping인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 지구통계학적 역문제에서 사후 공분산 행렬의 효율적인 저질할 근사법을 제안하며, 확장 가능한 불확실성 정량화를 가능하게 한다. 사후 공분산을 우선 공분산과 헤시안 및 역공분산 행렬의 주요 일반화 고유모드로부터 유도된 저질할 업데이트의 합으로 표현함으로써, 매개변수 차원에 관계없이 계산 비용을 𝒪(m log m)로 감소시키며, 시뮬레이션 토모그래피 문제에서 높은 정확도를 입증하였다.

ABSTRACT

We consider the computational challenges associated with uncertainty quantification involved in parameter estimation such as seismic slowness and hydraulic transmissivity fields. The reconstruction of these parameters can be mathematically described as Inverse Problems which we tackle using the Geostatistical approach. The quantification of uncertainty in the Geostatistical approach involves computing the posterior covariance matrix which is prohibitively expensive to fully compute and store. We consider an efficient representation of the posterior covariance matrix at the maximum a posteriori (MAP) point as the sum of the prior covariance matrix and a low-rank update that contains information from the dominant generalized eigenmodes of the data misfit part of the Hessian and the inverse covariance matrix. The rank of the low-rank update is typically independent of the dimension of the unknown parameter. The cost of our method scales as $\bigO(m\log m)$ where $m $ dimension of unknown parameter vector space. Furthermore, we show how to efficiently compute measures of uncertainty that are based on scalar functions of the posterior covariance matrix. The performance of our algorithms is demonstrated by application to model problems in synthetic travel-time tomography and steady-state hydraulic tomography. We explore the accuracy of the posterior covariance on different experimental parameters and show that the cost of approximating the posterior covariance matrix depends on the problem size and is not sensitive to other experimental parameters.

연구 동기 및 목표

• 지구통계학적 역문제에서 사후 공분산 행렬을 완전히 계산하고 저장하는 데 발생하는 계산 비용 문제를 해결하기 위해.
• 지반 속도 및 수리 전도도 분포의 대규모 매개변수 추정에 대해 확장 가능한 불확실성 정량화를 가능하게 하기 위해.
• 최소한의 계산 오버헤드로 주요 불확실성 정보를 포괄하는 저질할 표현을 개발하기 위해.
• 시뮬레이션 토모그래피 문제에서 다양한 실험적 조건에 걸쳐 방법의 정확도와 효율성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 사후 공분산 행렬은 우선 공분산 행렬과 저질할 업데이트 행렬의 합으로 근사된다.
• 저질할 업데이트는 데이터 오차의 헤시안과 역공분산 행렬의 주요 일반화 고유모드로부터 구성된다.
• 업데이트의 질은 일반적으로 알려지지 않은 매개변수 벡터의 차원과 독립적이며, 확장성을 보장한다.
• 이 방법은 계산 비용이 매개변수 공간의 차원 m에 대해 𝒪(m log m)로 스케일링된다.
• 공분산의 스칼라 함수, 예를 들어 분산과 신뢰구간은 저질할 구조를 통해 효율적으로 계산된다.
• 이 방법은 시뮬레이션 전파시간 토모그래피 및 정적 수리 토모그래피 문제에 대해 검증되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지구통계학적 역문제에서 사후 공분산 행렬을 완전한 계산 없이 효율적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 저질할 근사가 다양한 실험적 조건에서 불확실성 정량화의 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 제안된 방법의 계산 스케일링은 문제 크기와 실험 설정에 비해 어떻게 되는가?
• RQ4 저질할 근사에도 불구하고 분산과 신뢰구간과 같은 불확실성 측정치의 정확도를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 사후 공분산 행렬의 저질할 근사는 매개변수 차원과 무관하게 계산 비용이 𝒪(m log m)로 스케일링된다.
• 저질할 업데이트의 질은 작고 문제 크기에 크게 영향을 받지 않아 확장성이 보장된다.
• 시뮬레이션 토모그래피 문제에서 다양한 실험적 조건에 걸쳐 높은 정확도로 불확실성 정량화를 유지한다.
• 사후 공분산의 근사 오차는 실험 설계의 변화에 민감하지 않으며, 강건함을 보인다.
• 저질할 구조 덕분에 분산과 신뢰구간과 같은 스칼라 불확실성 측정치의 효율적 계산이 가능해진다.