[논문 리뷰] Unconditional Quantum Advantage for Sampling with Shallow Circuits

Adam Bene Watts, Natalie Parham|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 03.

Machine Learning and Algorithms인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 얕은 양자 회로를 사용하여 샘플링 작업에 대해 조건부가 아닌 양자 우월성을 확립한다. 구체적으로, 상수 깊이의 양자 회로로 효율적으로 샘플링 가능한 분포 Dn을 구성하고, 이 분포를 총 변동 거리 내에서 근사하기 위해선, 엔트로피가 1/k인 kn + nδ개의 i.i.d. 랜덤 입력을 요구하는 모든 유한 팬인도를 가진 고전적 회로가 깊이 Ω(log log n)이 되어야 함을 증명한다. 이 결과는 복잡도 이론적 추측에 의존하지 않고 무조건적으로 성립하며, 고전적 조언과 무한한 랜덤 입력을 포함한 설정으로도 확장 가능하다.

ABSTRACT

Recent work by Bravyi, Gosset, and Koenig showed that there exists a search problem that a constant-depth quantum circuit can solve, but that any constant-depth classical circuit with bounded fan-in cannot. They also pose the question: Can we achieve a similar proof of separation for an input-independent sampling task? In this paper, we show that the answer to this question is yes when the number of random input bits given to the classical circuit is bounded. We introduce a distribution $D_{n}$ over $\{0,1\}^n$ and construct a constant-depth uniform quantum circuit family $\{C_n\}_n$ such that $C_n$ samples from a distribution close to $D_{n}$ in total variation distance. For any $δ< 1$ we also prove, unconditionally, that any classical circuit with bounded fan-in gates that takes as input $kn + n^δ$ i.i.d. Bernouli random variables with entropy $1/k$ and produces output close to $D_{n}$ in total variation distance has depth $Ω(\log \log n)$. This gives an unconditional proof that constant-depth quantum circuits can sample from distributions that can't be reproduced by constant-depth bounded fan-in classical circuits, even up to additive error. We also show a similar separation between constant-depth quantum circuits with advice and classical circuits with bounded fan-in and fan-out, but access to an unbounded number of i.i.d random inputs. The distribution $D_n$ and classical circuit lower bounds are inspired by work of Viola, in which he shows a different (but related) distribution cannot be sampled from approximately by constant-depth bounded fan-in classical circuits.

연구 동기 및 목표

• 상수 깊이의 양자 회로와 유한 팬인도를 가진 고전적 회로 사이의 샘플링 작업에 대한 조건부가 아닌 분리 확립.
• {0,1}^n 상의 분포 Dn을 상수 깊이의 양자 회로로 효율적으로 샘플링할 수 있도록 구성.
• 엔트로피가 1/k인 kn + nδ개의 i.i.d. 베르누이 변수를 사용하는 모든 고전적 회로가 Dn을 총 변동 거리 내에서 근사하기 위해서는 깊이가 Ω(log log n) 이상이어야 함을 증명.
• 고전적 조언과 무한한 랜덤 입력을 포함한 설정으로 분리 결과를 확장.

제안 방법

• 비율을 수정한 majority 함수를 사용하여 비올라의 분포의 변종을 기반으로 {0,1}^n 상의 분포 Dn을 구성.
• Dn과의 총 변동 거리에서 가까운 분포를 샘플링할 수 있는 상수 깊이의 균일한 양자 회로 가족 {Cn}을 설계.
• 출력의 조건부 엔트로피 분석을 위해 엔트로피와 정보 이론적 경계를 사용하여 고전적 회로의 표현력에 대한 제약을 설정.
• 편향이 있는 베르누이 랜덤 변수와 Fact 22(수정된 버전인 Fact 59)를 적용하여, 모듈로 p에서의 편향된 변수의 선형 조합과 균일 분포 사이의 총 변동 거리를 제한.
• 고전적 회로의 행동과 양자 샘플링 정밀도를 연결하기 위해 'Y-고정' 및 'y-고정' 블록의 개념을 도입.
• 집중 및 편향 인식 테일 경계를 사용하여 출력이 목표 집합 T 외부에 있을 확률을 분석함으로써 고전적 회로의 깊이에 대한 하한을 증명.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 얕은 양자 회로를 사용한 샘플링 작업에 대해 조건부가 아닌 양자 우월성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 상수 깊이의 양자 회로로 효율적으로 샘플링 가능하지만, 제한된 랜덤 입력을 가진 유한 팬인도 고전적 회로로는 근사할 수 없는 분포 Dn이 존재하는가?
• RQ3 엔트로피가 1/k인 kn + nδ개의 i.i.d. 랜덤 입력을 가진 유한 팬인도 고전적 회로가 Dn을 총 변동 거리 내에서 근사하기 위해 필요한 최소 깊이는 얼마인가?
• RQ4 고전적 회로가 조언을 가질 수 있고 무한한 랜덤 입력에 접근할 수 있는 경우에도 분리 결과를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 양자 회로 가족 {Cn}은 Dn과 O(1/log n) 이내의 총 변동 거리에서 분포를 샘플링한다.
• 엔트로피가 1/k인 kn + nδ개의 i.i.d. 베르누이 입력을 요구하는 모든 유한 팬인도 고전적 회로는 Dn을 총 변동 거리 내에서 근사하기 위해선 깊이가 Ω(log log n) 이상이어야 한다.
• 하한은 복잡도 이론적 추측에 의존하지 않고 무조건적으로 성립한다.
• 제한된 랜덤성 조건에서 고전적 회로가 목표 집합 T에서 샘플링하지 못할 확률은 1/2 + O(1/log n) 이하로 제한되며, 이는 비트리얼한 우월성을 보여준다.
• 결과는 고전적 회로가 조언을 가질 수 있고 무한한 i.i.d. 랜덤 입력에 접근할 수 있는 경우에도 확장 가능하며, 유사한 깊이 분리가 성립함을 보여준다.
• 분석은 총 변동 거리 경계의 보다 정교한 편향 인식 버전(Fact 59)을 사용하여, 모듈로 산술에서 비균일 분포에 대한 더 엄밀한 제어를 가능하게 한다.