[논문 리뷰] Unconditional superconvergence analysis of a linearized Crank-Nicolson Galerkin FEM for generalized Ginzburg-Landau equation

Meng Li, Dongyang Shi외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 24.

Numerical methods for differential equations인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 Ginzburg-Landau 방정식(GLE)에 적용된 선형화된 Crank-Nicolson Galerkin 유한요소법(FEM)에 대해 조건부 초수렴 분석을 제시한다. 이중선형 요소를 사용하여 시간 이산화 및 시간-공간 이산화 방법을 결합함으로써, 최적의 오차 추정치를 도출한다: $H^1$-노름에서 $O( au^2 + h^2)$이며, 시간 간격 제약 없이 보간 후처리를 통한 전역 초수렴을 확보하여 큰 시간 간격에서도 강인한 수렴성을 확인한다.

ABSTRACT

In this paper, a linearized Crank-Nicolson Galerkin finite element method (FEM) for generalized Ginzburg-Landau equation (GLE) is considered, in which, the difference method in time and the standard Galerkin FEM are employed. Based on the linearized Crank-Nicolson difference method in time and the standard Galerkin finite element method with bilinear element in space, the time-discrete and space-time discrete systems are both constructed. We focus on a rigorous analysis and consideration of unconditional superconvergence error estimates of the discrete schemes. Firstly, by virtue of the temporal error results, the regularity for the time-discrete system is presented. Secondly, the classical Ritz projection is used to obtain the spatial error with order $O(h^2)$ in the sense of $L^2-$norm. Thanks to the relationship between the Ritz projection and the interpolated projection, the superclose estimate with order $O(τ^2 + h^2)$ in the sense of $H^1-$norm is derived. Thirdly, it follows from the interpolated postprocessing technique that the global superconvergence result is deduced. Finally, some numerical results are provided to confirm the theoretical analysis.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 Ginzburg-Landau 방정식(GLE)에 대해 향상된 안정성과 수렴성을 갖는 선형화된 Crank-Nicolson Galerkin FEM을 개발한다.
• 비선형 문제에서 흔한 시간 간격 제약 없이, 이산화된 방법에 대해 조건부 초수렴 오차 추정치를 수립한다.
• Ritz 투영과 보간 후처리 기법을 사용하여 시간 및 공간 오차 성분을 엄밀히 분석한다.
• 다양한 시간 간격과 메쉬 크기에서 이론적 결과를 수치 실험으로 확인한다.

제안 방법

• 비선형 항을 분리하여 반복 해법이 필요 없도록 시간에 대해 선형화된 Crank-Nicolson 스킴을 적용한다.
• 공간에 대해 표준 Galerkin FEM과 이차형 유한요소를 사용하여 완전히 이산화된 체계를 형성한다.
• Ritz 투영 연산자 $R_h$를 사용하여 $L^2$-노름에서 순서 $O(h^2)$의 공간 오차 추정치를 도출한다.
• Ritz 투영과 보간 연산자 $I_h$ 사이의 관계를 통해 $H^1$-노름에서 순서 $O(\tau^2 + h^2)$의 초밀착 추정치를 확보한다.
• $I_{2h}^2$를 통한 보간 후처리를 적용하여 $H^1$-노름에서 전역 초수렴을 달성한다.
• 시간-공간 오차 분할 기법을 사용하여 시간 오차와 공간 오차를 분리함으로써, 메쉬 비율 제약 없이 조건부 분석이 가능하도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 Ginzburg-Landau 방정식에 대해 선형화된 Crank-Nicolson Galerkin FEM을 사용하여 조건부 초수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 최적의 시간 및 공간 이산화 조건 하에서 이산해의 수렴 속도는 $H^1$-노름에서 얼마인가?
• RQ3 Ritz 투영과 보간 후처리 기법은 시간 간격 제약 없이 초수렴을 달성하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ4 수치적으로 확인된 바와 같이, 이 방법은 큰 시간 간격에서도 안정성과 정확성을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 시간 오차는 $H^2$-노름에서 $O(\tau^2)$로 유계이며, 강인한 초수렴 분석이 가능하다.
• Ritz 투영을 사용한 공간 오차는 $L^2$-노름에서 $O(h^2)$ 수렴을 달성한다.
• 이산해와 Ritz 투영 사이의 $H^1$-노름에서의 초밀착 추정치로 $O(\tau^2 + h^2)$를 도출하였다.
• 보간 후처리 기법을 통해 전역 초수렴을 달성하였으며, 오차는 $\|u^n - I_{2h}^2 U_h^n\|_1 = O(\tau^2 + h^2)$이다.
• 수치 결과는 여러 시간 간격, 특히 큰 $\tau = 20h$에서도 이론적 수렴 속도를 확인하여 조건부 안정성을 검증한다.
• 시간 간격 제약 조건인 $\tau = O(h^d)$가 필요 없이 최적의 수렴 속도를 달성하여 조건부 초수렴을 입증한다.