[논문 리뷰] Unconditionally $p$-converging operators and Dunford-Pettis Property of order $p$

Dongyang Chen, Javier Alejandro Chávez‐Domínguez외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 07.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 조건부로 $p$-수렴하는 연산자와 순서 $p$의 Dunford-Pettis 성질을 도입하고 특성화하며, 이러한 개념에 대한 새로운 정량적 측도를 수립한다. 연산자가 조건부로 $p$-수렴하는 데서 얼마나 떨어져 있는지를 측정하기 위해 여섯 개인 동치 노름을 제공하고, 특정 조건 하에서 두 번째 수반 연산자에 대해 성질이 유지됨을 증명함으로써 고전적 연산자 이론을 정량적 추정과 함께 $p$-바나흐 공간 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

In the present paper we study unconditionally $p$-converging operators and Dunford-Pettis property of order $p$. New characterizations of unconditionally $p$-converging operators and Dunford-Pettis property of order $p$ are established. Six quantities are defined to measure how far an operator is from being unconditionally $p$-converging. We prove quantitative versions of relationships of completely continuous operators,unconditionally $p$-converging operators and unconditionally converging operators. We further investigate possible quantifications of the Dunford-Pettis property of order $p$.

연구 동기 및 목표

• 완전 연속성과 조건부 수렴하는 연산자의 일반화로 조건부로 $p$-수렴하는 연산자를 정의하고 특성화하기.
• 순서 $p$의 Dunford-Pettis 성질($DPP_p$)을 도입하고, 그 유전적 및 전사적 변종을 연구하기.
• 연산자의 조건부 $p$-수렴 정도를 측정하기 위한 여섯 개의 동치 정량적 측도를 개발하기.
• 약한 $p$-코시 수열과 약한 $p$-제한 집합을 사용하여 $DPP_p$의 위상적 및 노름 기반 특성화를 제공하기.
• 완전 연속성, 조건부로 $p$-수렴하는, 그리고 조건부 수렴하는 연산자 간의 정량적 관계를 수립하기.

제안 방법

• 조건부로 $p$-합성 가능한 수열의 공간 $l^u_p(X)$를 도입하고, 약한 $p$-합성 가능한 수열 위에서의 작용을 통해 조건부로 $p$-수렴하는 연산자를 정의하기.
• 연산자 $T$가 조건부로 $p$-수렴하는 데서 얼마나 떨어져 있는지를 측정하기 위해 여섯 개의 새로운 양 $uc_p^i(T)$, $i=1,\dots,6$를 정의하기.
• 연산자 행동과 수열 성질 간의 관계를 확립하기 위해 $σ(l_{p^*},l_p)$-연속 연산자와 약한 $p$-합성 가능한 수열 사이의 표준 동형사상 사용하기.
• 약한 $p$-코시 수열의 위상 수렴을 통해 $DPP_p$를 특성화하기 위해 쌍대 공간에 새로운 국소 볼록 위상을 도입하기.
• $p=1$일 때 $uc_p^6(T)$가 [20]에서 정의된 조건부 수렴을 측정하는 양과 일치함을 증명하여 이전 연구와의 일관성 확보하기.
• 약한 $^*$-폭 $wk_{X^*}(A)$와 새로운 노름 $uc_p^i(T)$를 포함하는 조건들의 동치성을 증명하고, 고전 정리의 정량적 형태를 확립하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연산자가 조건부로 $p$-수렴하기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇이며, 이 성질은 어떻게 정량적으로 측정할 수 있는가?
• RQ2 순서 $p$의 Dunford-Pettis 성질은 쌍대 공간에서 약한 $p$-코시 수열과 약한 $p$-제한 집합과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 고전적 Dunford-Pettis 성질은 $p$-바나흐 공간 설정으로 일반화될 수 있는가? 이는 $H^1$과 $Λ(W,1)$와 같은 고전적 공간에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 연산자의 두 번째 수반과 그 조건부 $p$-수렴성 사이의 관계는 무엇이며, $T$에서 $T^{**}$로 성질이 올라가는 조건은 언제인가?
• RQ5 여섯 개의 새로운 양 $uc_p^i(T)$는 기존의 연산자 컴팩트성 및 수렴 측도와 어떻게 비교되며, 상호 동치인가?

주요 결과

• 여섯 개의 양 $uc_p^i(T)$ for $i=1,\dots,6$는 상호 동치이며, 조건부로 $p$-수렴하는 연산자의 완전한 정량적 특성화를 제공한다.
• $p=1$일 때 $uc_p^6(T)$는 [20]에서 정의된 조건부 수렴을 측정하는 양과 일치하며, 이는 이전 연구와의 일관성을 보장한다.
• 모든 연산자 $T: X \to Y$에 대해 $uc_p^6(T) \leq C \cdot wk_{X^*}(T^*)$가 성립하는 것은 $X$가 상수 $C$를 가진 정량적 $DPP_p$를 가진다에 필요이고 충분하다.
• Banach 공간 $X$가 유전적 $DPP_p$를 가진다와, $X$ 내의 모든 약한 $p$-합성 가능한 수열이 약한 $1$-합성 가능한 부분수열을 가진다는 것이 동치이다.
• $X^{**}$가 정량적 $DPP_p$를 가진다면, $X$는 제어 가능한 상수를 가진 채택된 성질을 습득한다: 조건 (1)–(5)에 대해 $16C$, 조건 (3)에 대해 $C$.
• 임의의 닫힌 부분공간 $X \subset Y$에 대해 $wk_Y(A) \leq wk_X(A) \leq 2wk_Y(A)$가 성립하며, 이는 $X^{**}$에서 $X$로 $DPP_p$ 성질을 전달하는 데 핵심적이다.