[논문 리뷰] Uncountable groups with Property (FH)

Yves Cornulier|arXiv (Cornell University)|2004. 11. 21.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 3인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 비가산 성질 (FH)을 가진 군을 구성하여, 비가산 맥락에서 성질 (FH)이 카즈한 성질 (T)을 함의하지는 않음을 보여준다. 델زان의 임bedding 정리와 ω₁-존재적 폐쇄된 군의 성질을 이용하여, 모든 군이 성질 (FH)을 가진 군에 포함됨을 보이고, 유한한 완전군 G의 비가산 인덱스 집합 I에 대한 직접곱 G^I 가 강한 유계성을 지님을 증명함으로써, 성질 (FH)을 가짐을 보인다.

ABSTRACT

Abstract. A group has Property (FH) if every isometric action on a Hilbert space has a fixed point. We exhibit some uncountable groups with Property (FH). In particular, these groups do not have Kazhdan’s Property (T), which is known to be equivalent to Property (FH) for countable groups. Our first examples rely on a theorem of Delzant, which states that every countable group embeds in a group with Property (T). We deduce that every ω1-existentially closed group has Property (FH), so that every group embeds in a group with Property (FH). Next we prove that, if G is a finite perfect group, and I is a set, then G I has Property (FH). We actually prove something stronger. We say that a group is strongly bounded if every isometric action on a metric space has bounded orbits. This latter property is equivalent, for infinite groups, to the so-called uncountable strong cofinality. We show that G I is strongly bounded. This strengthens a result of Koppelberg and Tits. In this paper, all groups are discrete. 1.

연구 동기 및 목표

• 성질 (FH)이 비가산 맥락에서 카즈한 성질 (T)을 함의하는지 조사하기.
• 성질 (T)을 갖지 않는 비가산 군을 성질 (FH)을 가짐으로써 구성하기.
• 유한한 완전군의 비가산 곱에 대한 성질 (FH)과 강한 유계성에 관한 기존 결과를 확장하기.
• ω₁-존재적 폐쇄된 군과 성질 (FH) 사이의 관계 탐색하기.

제안 방법

• 모든 가산 군이 성질 (T)을 가진 군에 포함됨을 보여주는 델زان의 정리를 활용하여, 비가산 군이 성질 (FH)을 가짐을 구성한다.
• ω₁-존재적 폐쇄된 군을 분석하여, 이들이 반드시 성질 (FH)을 가짐을 보이고, 따라서 모든 군이 그러한 군에 포함됨을 보인다.
• 비가산 인덱스 집합 I에 대해 유한한 완전군 G의 직접곱 G^I 가 강한 유계성을 지님을 증명함으로써, 성질 (FH)을 유도한다.
• 무한군에 대해 강한 유계성과 비가산 강한 코프리미티의 등가성을 이용하여 결과를 확립한다.
• 강한 유계성을 지닌 군은 성질 (FH)을 지닌다는 사실을 적용하여, G^I 에 대한 성질 (FH)을 도출한다.
• 거리 공간과 등장 군 작용을 포함한 군론적 기법을 사용하여 유계 궤도를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 성질 (T)을 갖지 않는 비가산 군 중 성질 (FH)을 가진 군이 존재하는가?
• RQ2 모든 군이 성질 (FH)을 가진 군에 포함될 수 있는가?
• RQ3 비가산 인덱스 집합 I에 대해 유한한 완전군 G의 직접곱 G^I 는 강한 유계성을 지니는가?
• RQ4 ω₁-존재적 폐쇄된 군과 성질 (FH) 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 비가산 맥락에서 강한 유계성은 성질 (FH)을 함의하는가?

주요 결과

• 모든 ω₁-존재적 폐쇄된 군은 성질 (FH)을 지닌다. 이는 모든 군이 성질 (FH)을 가진 군에 포함됨을 의미한다.
• 비가산 인덱스 집합 I에 대해 유한한 완전군 G의 직접곱 G^I 는 강한 유계성을 지닌다. 즉, 모든 등장 군 작용이 거리 공간에서 유계 궤도를 가진다.
• G^I 는 강한 유계성이 무한군에 대해 성질 (FH)을 함의하므로, 성질 (FH)을 가진다.
• 이 구성은 성질 (T)을 갖지 않지만 성질 (FH)을 가진 비가산 군을 제공하며, 이는 두 성질이 비가산 경우에서 동치가 아님을 보여준다.
• 이전의 코플베르크와 티츠의 강한 유계성에 관한 연구를 강화한다.
• 논문은 무한군에 대해 비가산 강한 코프리미티가 강한 유계성과 등가임을 확립하여, 새로운 특성화를 제공한다.