[논문 리뷰] Undecidability of a Theory of Strings, Linear Arithmetic over Length, and String-Number Conversion

Vijay Ganesh, Murphy Berzish|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 30.

Web Application Security Vulnerabilities참고 문헌 26인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 문자열 방정정식, 문자열 길이에 대한 선형 산술, 문자열에서 숫자로의 변환을 조합한 일阶, 다수의 종류, 양자화 없이 이론의 만족 가능성 문제의 결정 불가능성을 증명한다. 저자들은 이 문제를 거듭제곱 산술로의 환원을 통해 증명하며, 문자열-숫자 변환 술어가 단어 방정식과 길이 함수를 통해 표현 가능하다는 것을 보여주며, 이러한 구성요소들 간의 깊은 연결고리를 드러내고 실용적인 문자열 솔버의 본질적 복잡성을 강조한다.

ABSTRACT

In recent years there has been considerable interest in theories over string equations, length function, and string-number conversion predicate within the formal verification, software engineering, and security communities. SMT solvers for these theories, such as Z3str2, CVC4, and S3, are of immense practical value in exposing security vulnerabilities in string-intensive programs. Additionally, there are many open decidability and complexity-theoretic questions in the context of theories over strings that are of great interest to mathematicians. Motivated by the above-mentioned applications and open questions, we study a first-order, many-sorted, quantifier-free theory $T_{s,n}$ of string equations, linear arithmetic over string length, and string-number conversion predicate and prove three theorems. First, we prove that the satisfiability problem for the theory $T_{s,n}$ is undecidable via a reduction from a theory of linear arithmetic over natural numbers with power predicate, we call power arithmetic. Second, we show that the string-numeric conversion predicate is expressible in terms of the power predicate, string equations, and length function. This second theorem, in conjunction with the reduction we propose for the undecidability theorem, suggests that the power predicate is expressible in terms of word equations and length function if and only if the string-numeric conversion predicate is also expressible in the same fragment. Such results are very useful tools in comparing the expressive power of different theories, and for establishing decidability and complexity results. Third, we provide a consistent axiomatization $Γ$ for the functions and predicates of $T_{s,n}$. Additionally, we prove that the theory $T_Γ$ , obtained via logical closure of $Γ$, is not a complete theory.

연구 동기 및 목표

• 문자열 방정식, 길이 함수, 문자열-숫자 변환을 조합한 널리 사용되는 문자열 이론의 결정 가능성 상태를 규명하는 것.
• 문자열-숫자 변환 술어가 단어 방정식과 길이 함수만을 사용하여 표현 가능한지 조사하는 것.
• 이론의 함수들과 술어들에 대해 일관되고 최소한의 공리 체계를 제공하고, 그 완전성을 평가하는 것.

제안 방법

• 결정 불가능성이 알려진 거듭제곱 산술로의 환원을 통해 문자열 이론의 결정 불가능성을 증명하는 것.
• 문자열 연결, 길이 제약 조건, 문자열-숫자 변환을 사용하여 거듭제곱 연산을 시뮬레이션하는 형식적 인코딩의 구축.
• 논리적 및 대수적 구성 방법을 통해 문자열-숫자 변환 술어가 단어 방정식과 길이 함수를 통해 정의 가능하다는 것을 보여주는 것.
• 이론의 함수들과 술어들에 대한 일관된 공리 체계 Γ의 정의.
• Γ의 논리적 닫힘을 통해 이론 TΓ를 구성하고, 그 완전성에 대한 분석을 수행하는 것.
• 단어 방정식의 만족 가능성에 관한 기존 결과와 Makanin의 알고리즘을 활용하여 표현 가능성 및 복잡성 결과를 맥락화하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 문자열 방정식, 길이 함수, 문자열-숫자 변환을 포함한 양자화 없이 이론 T_{s,n}의 만족 가능성 문제는 결정 가능한가?
• RQ2 문자열-숫자 변환 술어는 단어 방정식과 길이 함수만을 사용하여 표현 가능한가?
• RQ3 T_{s,n}의 함수들과 술어들에 대해 일관되고 최소한의 공리 체계가 존재하는가?
• RQ4 그러한 공리 체계의 논리적 닫힘은 완전한 이론인가?
• RQ5 이 조각에서 문자열-숫자 변환 술어의 표현 가능성과 거듭제곱 술어 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• T_{s,n} 이론의 만족 가능성 문제는 거듭제곱 산술로의 환원을 통해 결정 불가능하다는 것이 증명되었다.
• 문자열-숫자 변환 술어는 단어 방정식과 길이 함수를 통해 표현 가능하다는 것이 입증되어, 이러한 구성요소들 간의 깊은 이론적 연결고리를 확립하였다.
• 이 조각에서 문자열-숫자 변환 술어의 표현 가능성은 거듭제곱 술어의 표현 가능성과 동치이다.
• T_{s,n}의 함수들과 술어들에 대해 일관되고 최소한의 공리 체계 Γ를 구성할 수 있다.
• 이 공리 체계의 논리적 닫힘 TΓ는 완전한 이론이 아니며, 이는 이 이론의 전체 의미를 형식화하는 데 내재된 한계를 시사한다.