[논문 리뷰] Understanding the non-Gaussian nature of reactive solute transport. From particle dynamics to the partial differential equations

Gerard Uffink, Amro Elfeki외 3명|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 13.

Groundwater flow and contamination studies참고 문헌 29인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 균질한 다孔성 매질 내 반응성 용질 이동을 위한 엄밀한 스토케스틱 입자 모델을 제시한다. 이 모델은 랜덤 워크를 통한 유동/분산와 마코프성 운동 흡착을 조합한다. 모델은 기본 원리에서 정 governing 편미분 방정식을 유도하며, 시간이 지남에 따라 비정규 분포의 확산이 나타나고, 이는 꼬리 현상과 '소시지 모양'의 플룸을 특징으로 하며, 장시간 후에 점점 정규 분포로 수렴함을 보여준다.

ABSTRACT

In the present study we examine non-Gaussian spreading of solutes subject to advection, dispersion and kinetic sorption (adsorption/desorption). We start considering the behavior of a single particle and apply a random walk to describe advection/dispersion plus a Markov chain to describe kinetic sorption. We show in a rigorous way that this model leads to a set of differential equations. For this combination of stochastic processes such a derivation is new. Then, to illustrate the mechanism that leads to non-Gaussian spreading we analyze this set of equations at first leaving out the Gaussian dispersion term (microdispersion). The set of equations now transforms to the telegrapher's equation. Characteristic for this system is a longitudinal spreading, that becomes Gaussian only in the long-time limit. We refer to this as kinetics induced spreading. When the microdispersion process is included back again, the characteristics of the telegraph equations are still present. Now two spreading phenomena are active, the Gaussian microdispersive spreading plus the kinetics induced non-Gaussian spreading. In the long run the latter becomes Gaussian as well. Another non-Gaussian feature shows itself in the 2D situation. Here, the lateral spread and the longitudinal displacement are no longer independent, as should be the case for a 2D Gaussian spreading process. In a displacing plume this interdependence is displayed as a `tailing' effect. We also analyze marginal and conditional moments, which confirm this result. With respect to effective properties (velocity and dispersion) we conclude that effective parameters can be defined properly only for large times (asymptotic times). In the two-dimensional case it appears that the transverse spreading depends on the longitudinal coordinate. This results in `cigar-shaped' contours.

연구 동기 및 목표

• 균질한 지하수체에서 반응성 용질 이동에 대한 엄밀한 스토케스틱 기반을 확립하여, 입자 추적 기법이 PDE와의 유사성 외에 더 이상의 의미가 없다는 가정을 도전한다.
• 매질의 비균질성이 없이도 운동 흡착이 비정규 분포의 확산 패tern(예: 꼬리 현상 및 비대칭 플룸 윤곽)을 어떻게 유도할 수 있는지 조사한다.
• 랜덤 워크와 마코프성 흡착/탈착을 포함한 단일 입자 스토케스틱 모델에서 정확한 편미분 방정식을 유도한다.
• 모멘트(특히 비대칭도와 첨도)의 시간적 변화를 분석하여, 효과적 이동 매개변수(속도, 분산)가 점점 수렴하지 않는 전단계에서는 시간에 따라 변동됨을 보여준다.
• 2차원에서 '소시지 모양'의 플룸 윤곽이 발생하는 원인을 설명하기 위해, 횡방향 확산이 종방향 위치에 따라 달라지는 이유를 밝힌다.

제안 방법

• 유동과 분산을 위한 이산 시간 랜덤 워크와 흡착/탈착 동역학을 나타내는 이중 상태 마코프 체인을 조합하여 단일 용질 입자를 모델링한다.
• 모멘트 생성 함수와 라플라스 변환을 사용하여 스토케스틱 입자 모델에서 governing 시스템의 편미분 방정식을 유도한다.
• 미세 분산을 무시한 경우 텔레그래퍼 방정식을 극한으로 간주하여, 이동 상태와 비이동 상태 사이의 운동적 전환에 의해 비정규 분포의 확산이 유도됨을 보여준다.
• 특히 2차원에서 조건부 및 여부 모멘트를 사용하여, 1차원 또는 여부 분포에서는 보이지 않는 비정규 분포 행동을 탐지한다.
• 스토케스틱 모델에 일반화된 중심극한정리를 적용하여, 장시간에 걸쳐 정규 분포로 수렴함을 정당화한다.
• 효과적 종방향 분산 계수를 정량화하여, 표준 유체역학적 분산 외에 $v^2rac{ u heta}{( u+ heta)^3}$ 비례하는 비선형 항이 추가로 존재함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 운동 흡착이 있는 스토케스틱 입자 모델에서 직접적으로 이동-분산-반응 PDE를 유도할 수 있는가? 후행적으로 등가성을 가정하는 것이 아니라.
• RQ2 매질의 비균질성이 없을 때 운동 흡착만 존재하는 균질 매질 내에서 비정규 분포의 확산이 발생하는 원인은 무엇이며, 정규 분산과 어떻게 다를까?
• RQ3 2차원에서 종방향과 횡방향 확산의 상호의존성이 '소시지 모양'의 플룸 윤곽을 어떻게 유도하는가? 이는 모멘트 기반 진단에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ4 효과적 이동 매개변수(속도 및 분산)가 일정해지는 시점은 언제이며, 이에 영향을 주는 요소는 무엇인가?
• RQ5 미세 분산 항에서는 선형 의존성이 나타나는 데 비해, 운동 흡착 영역에서는 효과적 종방향 분산 계수가 속도의 제곱에 비례하는 이유는 무엇인가?

주요 결과

• 입자 운동을 랜덤 워크와 두 상태 마코프 과정을 조합하여 모델링함으로써, 입자 역학과 PDE 간의 등가성을 증명함으로써, governing PDE의 엄밀한 유도를 달성하였다.
• 매질의 비균질성이 없더라도 운동 흡착만으로도 '운동 흡착 유도 분산' 메커니즘에 의해 비정규 분포의 확산이 발생함을 보여주며, 이는 꼬리 현상과 비정규 첨도로 관측된다.
• 2차원의 경우, 흡착 상태에서의 차이 있는 이동 시간으로 인해 횡방향 확산이 종방향 좌표에 따라 달라지며, 이로 인해 '소시지 모양'의 플룸 윤곽이 발생한다.
• 효과적 종방향 분산 계수에는 $v^2rac{ u heta}{( u+ heta)^3}$ 항이 추가로 포함되며, 이는 속도의 제곱에 비례하고 유일하게 운동 흡착 동역학에서 기인한다.
• 효과적 매개변수가 안정화되기 전의 임계 시간은 약 $3/( u + heta)$이며, 이는 주입 직후에는 일정한 효과적 분산을 가정할 수 없다는 것을 시사한다.
• 2차원에서의 조건부 모멘트는 1차원 또는 여부 모멘트에서는 가려지는 비정규 분포 행동을 드러내며, 이는 비대칭도와 첨도가 전점근 상태 이동 진단에 필수적임을 확인한다.