[논문 리뷰] Understanding the second quantization of fermions in Clifford and in Grassmann space -- New way of second quantization of fermions, Part I

N. S. Mankoč Borštnik, H. B. F. Nielsen|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 06.

International Science and Diplomacy인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 그라스만 및 클리포드 대수를 사용하여 페르미온에 대한 새로운 제2량자화 프레임워크를 제안하며, 디рак의 조건을 가정하지 않고도 내재된 기저 벡터의 홀수성 덕분에 반대칭 관계가 자연스럽게 유도됨을 보여준다. 주요 결과는 그라스만 페르미온이 정수 스핀 상태를, 클리포드 페르미온이 반정수 스핀 상태를 재현함으로써 디рак의 가정을 대수적으로 설명하고, 고차원 모델에서 페르미온 가족과 게이지 대칭을 통합적으로 묘사할 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

Both algebras, Clifford and Grassmann, offer "basis vectors" for describing the internal degrees of freedom of fermions. The oddness of the "basis vectors", transferred to the creation operators, which are tensor products of the finite number of "basis vectors" and the infinite number of momentum basis, and to their Hermitian conjugated partners annihilation operators, offers the second quantization of fermions without postulating the conditions proposed by Dirac, enabling the explanation of the Dirac's postulates. But while the Clifford fermions manifest the half integer spins -- in agreement with the observed properties of quarks and leptons and antiquarks and antileptons -- the "Grassmann fermions" manifest the integer spins. In Part I properties of the creation and annihilation operators of integer spins "Grassmann fermions" are presented and the proposed equations of motion solved. The anticommutation relations of second quantized integer spin fermions are shown when applying on the vacuum state as well as when applying on the Hilbert space of the infinite number of "Slater determinants" with all the possibilities of empty and occupied "fermion states". In Part II the conditions are discussed under which the Clifford algebras offer the appearance of the second quantized fermions, enabling as well the appearance of families. In both parts, Part I and Part II, the relation between the Dirac way and our way of the second quantization of fermions is presented.

연구 동기 및 목표

• 디랙이 요구한 바와 같이 반대칭 관계를 가정하지 않고 제2량자화된 페르미온 통계를 유도하는 것.
• 그라스만 및 클리포드 대수의 내재 기저 벡터의 홀수성이 자연스럽게 페르미온 반대칭 관계를 유도하는 방식을 보여주는 것.
• 클리포드 대수를 통해 반정수 스핀(쿼크, 렙톤)이 어떻게 나타나고, 그라스만 대수를 통해 정수 스핀이 어떻게 나타나는지를 통합된 대수적 프레임워크 안에서 설명하는 것.
• 이 형식이 어떻게 페르미온 가족의 출현을 가능하게 하고 칼류자-클라인 유사 이론 및 표준모델을 초월한 물리학과 연결되는지를 보여주는 것.
• 표준 디랙 제2량자화와 이 새로운 내재 공간의 홀수성 기반 대수적 접근 방식 간의 관계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• d차원 내재 공간에서 기저 상태를 구성하기 위해 반대칭 좌표 $\theta^a$와 미분 $\partial/\partial\theta^a$를 갖는 그라스만 대수를 사용한다.
• 창조 및 소멸 연산자를 내재 그라스만/클리포드 기저 벡터와 운동량 공간 상태의 텐서곱으로 정의하며, 대수에서 유래된 홀수성을 계승한다.
• 소멸 및 창조 연산자의 곱의 합으로 정의된 진공 상태를 적용하여 반대칭 관계를 대수적으로 검증한다.
• 이루어진 표현을 분류하고 손수성 $\Gamma^{(d)}$를 $SO(d)$ 불변량으로 정의하기 위해 로렌츠 대수 생성자 $S^{ab}$를 사용한다.
• 두 개의 클리포드 대수를 $\gamma^a = \theta^a + \partial/\partial\theta^a$ 및 $\tilde{\gamma}^a = i(\theta^a - \partial/\partial\theta^a)$를 통해 도입하며, 하나는 반정수 스핀 페르미온을 생성한다.
• 클리포드 대수의 자유도를 감소시키는 제약 조건(식 19)을 도입함으로써 $\tilde{S}^{ab}$를 통한 가족 양자수의 도입이 가능해지고, 기약 표현을 구분할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디랙이 한 것처럼 반대칭 관계를 가정하지 않고 페르미온의 제2량자화를 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 그라스만 및 클리포드 대수의 내재 기저 벡터의 홀수성이 페르미온 통계를 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 왜 그라스만 페르미온은 자연스럽게 정수 스핀 상태를 묘사하는 데 쓰이고, 클리포드 페르미온은 반정수 스핀 상태를 묘사하는가?
• RQ4 제안된 형식이 어떻게 디рак의 제2량자화 가정의 기원을 설명하는가?
• RQ5 이 대수적 구조가 자연스럽게 고차원 모델에서 페르미온 가족과 게이지 대칭의 존재를 설명할 수 있는가?

주요 결과

• 제2량자화된 페르미온의 반대칭 관계는 그라스만 및 클리포드 대수의 내재 기저 벡터의 홀수성에서 자연스럽게 유도되며, 이를 가정하지 않아도 된다.
• 그라스만 페르미온은 $\theta^a$와 $\partial/\partial\theta^a$의 홀수적 곱으로 구성되며, 정수 스핀 상태를 생성하고, 진공 상태 또는 슬래터 행렬식의 힐베르트 공간에서 작용할 때 반대칭 관계를 만족한다.
• 클리포드 페르미온은 $\gamma^a = \theta^a + \partial/\partial\theta^a$로 정의되며, 관측된 쿼크와 렙톤과 일치하는 반정수 스핀 상태를 생성한다.
• $\gamma^a$를 $\tilde{\gamma}^a$보다 선택하는 제약 조건은 클리포드 및 그라스만 대수의 자유도를 감소시키며, 이로 인해 기본 정수 스핀 페르미온의 존재가 불가능해진다.
• 로렌츠 대수 $S^{ab}$의 기약 표현은 $\tilde{S}^{ab}$에 의해 결정되는 별개의 가족 양자수를 지니며, 그들 중 $d/2$개의 연산자가 서로 가환한다.
• 손수성 연산자 $\Gamma^{(d)} = (i)^{d/2} \prod_a \sqrt{\eta^{aa}} \gamma^a$ 는 $SO(d)$ 불변량이며, 클리포드 대수 프레임워크에서 페르미온의 편극 상태를 구분한다.