[논문 리뷰] Une caracterisation des endomorphismes de Lattes par leur mesure de Green

François Berteloot, Christophe Dupont|arXiv (Cornell University)|2005. 01. 03.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 8인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 복소 프로젝티브 공간 $\mathbb{P}^k$ 의 허문형 끝모르는 동형사상 중에서 최대 엔트로피 측도가 르베그 측도에 대해 절대 연속인 경우에만 라티스 동형사상임을 증명한다. 고차원에서 코베 유형 정리의 부재를 회피하는 데 새로운 局소 선형화 기법을 사용하여, 그린 측도의 절대 연속성은 동형사상이 반드시 라티스임을 보여주며, 이는 최대 하우스도르프 차원과 최소 리아풀로프 지수 등의 극단적 동역학적 성질을 통해 이러한 사상들을 특성화한다.

ABSTRACT

We show that the Lattes endomorphisms are the only holomorphic endomorphisms of the complex k-dimensional projective space whose measure of maximal entropy is absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure. As a consequence, Lattes endomorphisms are also characterized by other extremal properties as the maximality of the Hausdorff dimension of their measure of maximal entropy or the minimality of their Liapounov exponents. Our proof uses a linearization method which is of independant interest and a previous characterization by the regularity of the Green current.

연구 동기 및 목표

• 복소 프로젝티브 공간 $\mathbb{P}^k$ 의 허문형 끝모르는 동형사상 중에서 최대 엔트로피 측도가 르베그 측도에 대해 절대 연속인 것을 특성화하는 것.
• 그러한 동형사상이 반드시 라티스 사상임을 증명하여, 포르나에스와 시본이 제기한 질문을 해결하는 것.
• 그린 측도의 절대 연속성이 최대 하우스도르프 차원과 최소 리아풀로프 지수를 포함한 극단적 동역학적 행동을 유도함을 보이는 것.
• 고차원 복소 동역학에서 코베 유형 정리의 부재를 극복하기 위해 새로운 국소 선형화 방법을 개발하고 적용하는 것.
• 그린 코어와 그의 거듭제곱을 통해 측도 이론적 규칙성(절대 연속성)과 기하학적 구조(라티스 형태) 사이의 갭을 메우는 것.

제안 방법

• 일반적인 점 근처에서 동역학을 정규화하기 위해 반복 함수 $f^n$ 에 역탄젠트 매핑 $(D_x f^n)^{-1}$ 을 사전 조합하는 국소 선형화 절차를 도입한다.
• 그린 측도 $\mu = T^k$ 의 절대 연속성 가정을 사용하여 $f^n$ 에서의 역상의 체적 성장을 통제한다.
• 측도 $\mu$ 의 리아풀로프 지수 $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ 에 기반하여 $f^n$ 에서의 공역 구역의 역상의 왜곡에 대한 균일한 추정을 수립한다.
• 복소 프로젝티브 공간 $\mathbb{P}^k$ 에 미세한 메쉬를 적용한 커버링 추론을 사용하여, 왜곡이 통제된 점들의 집합 $A_n$ 을 덮는 역상 집합 $P_i$ 의 수를 유계로 제한한다.
• 역상 집합 $\bigcup_i P_i$ 의 체적 추정을 사용하여, $\limsup_n A_n$ 이 되는 집합 $Y$ 의 하우스도르프 측도를 추정함으로써 차원 추정을 이끌어낸다.
• 모든 $\epsilon > 0$ 에 대해 $Y$ 의 $l_\epsilon$-하우스도르프 측도에 하한을 구함으로써, $\mu$ 가 절대 연속이면 $\dim(\mu) = 2k$ 뿐만 아니라 $f$ 가 라티스임을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소 프로젝티브 공간 $\mathbb{P}^k$ 의 어떤 허문형 끝모르는 동형사상이 그린 측도가 르베그 측도 $\omega^k$ 에 대해 절대 연속인가?
• RQ2 최대 하우스도르프 차원이나 최소 리아풀로프 지수와 같은 최대 엔트로피 측도의 극단적 성질만으로도 라티스 성질을 특성화할 수 있는가?
• RQ3 고차원에서 $\mu = T^k$ 의 절대 연속성으로부터 그린 코어 $T$ 의 규칙성을 확립할 수 있는가?
• RQ4 코베 왜곡 정리에 의존하지 않고 $k \geq 2$ 에서 $\mathbb{P}^k$ 에서 선형화 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ5 그린 측도의 차원과 동형사상의 동역학적 구조 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 그린 측도 $\mu$ 가 르베그 측도 $\omega^k$ 에 대해 절대 연속인 복소 프로젝티브 공간 $\mathbb{P}^k$ 의 유일한 허문형 끝모르는 동형사상은 라티스 동형사상뿐이다.
• 라티스 동형사상의 그린 측도 $\mu$ 는 정확히 $2k$ 의 하우스도르프 차원을 가지며, 이는 최대 가능한 값이다.
• 임의의 차수 $d$ 를 가진 동형사상에 대해, 측도 $\mu$ 의 리아풀로프 지수는 최소이며, $\log \sqrt{d}$ 와 같고, 이는 오직 $f$ 가 라티스일 때에만 성립한다.
• 반복에서 왜곡이 통제된 점들로 이루어진 집합 $Y = \limsup_n A_n$ 은 모든 $\epsilon > 0$ 에 대해 유한한 $l_\epsilon$-하우스도르프 측도를 가지며, 이는 $\mu$ 가 절대 연속이면 $\dim(\mu) = 2k$ 를 의미한다.
• 논문에서 개발된 선형화 방법은 코베 유형 정리의 부재에도 불구하고 고차원에서 역상 체적을 통제할 수 있게 한다.
• 최대 차원, 최소 리아풀로프 지수, 라티스 성질 간의 동치관계는 $k \geq 1$ 전역에 대해 성립하며, 기존의 1차원 결과를 일반화한다.