[논문 리뷰] Unexpected isomorphisms between hyperk\"ahler fourfolds

Olivier Debarre, Emanuele Macrì|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 35인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 고정된 극성도와 나누어떨어짐 조건을 갖는 K3 표면의 Hilbert 제곱과 변형 동치인 하이퍼카ähler 4차원 다양체를 연구하며, 주기 매핑의 상의 여집합이 명시적인 Heegner 초평면들로 이루어져 있음을 증명한다. 또한 이러한 초평면들 중 무한히 많은 수가 K3 표면의 Hilbert 제곱 또는 이중 EPW 십육차형과 동형인 4차원 다양체를 매개변수화함을 보이며, 이 모듈리 공간 내에서 놀라운 동형관계를 규명한다.

ABSTRACT

This is an improved version of the eprint previously entitled Unexpected isomorphisms between hyperkahler fourfolds. We study smooth projective hyperkahler fourfolds that are deformations of Hilbert squares of K3 surfaces and are equipped with a polarization of fixed degree and divisibility. They are parametrized by a quasi-projective irreducible 20-dimensional moduli space and Verbitksy's Torelli theorem implies that their period map is an open embedding. Our main result is that the complement of the image of the period map is a finite union of explicit Heegner divisors that we describe. We also prove that infinitely many Heegner divisors in a given period space have the property that their general points correspond to fourfolds which are isomorphic to Hilbert squares of a K3 surfaces, or to double EPW sextics. In two appendices, we determine the groups of biregular or birational automorphisms of various projective hyperkahler fourfolds with Picard number 1 or 2.

연구 동기 및 목표

• 하이퍼카ähler 4차원 다양체의 주기 매핑의 구조를 이해하기 위해, K3 표면의 Hilbert 제곱과 변형 동치인 경우를 연구한다.
• 20차원 모듈리 공간 내에서 주기 매핑의 상의 여집합을 특성화한다.
• 일반적인 Heegner 초평면 위의 점들이 K3 표면의 Hilbert 제곱 또는 이중 EPW 십육차형과 동형인 4차원 다양체를 나타내는 조건을 규명한다.
• 판별수 1 또는 2인 프로젝티브 하이퍼카ähler 4차원 다양체의 이(regular) 및 비이(regular) 자기동형사상군을 결정한다.

제안 방법

• Verbitsky의 Torelli 정리를 활용하여 주기 매핑이 20차원 모듈리 공간에서 열린 임베딩임을 보인다.
• 격자 이론적 분석을 통해 주기 매핑의 상의 여집합이 명시적인 Heegner 초평면들의 유한한 합집합임을 규명한다.
• 극성도와 나누어떨어짐 조건을 분석하여 변형 유형 내에서 다양체를 분류한다.
• Heegner 초평면 이론을 적용하여, 무한히 많은 수의 이러한 초평면들이 K3 표면의 Hilbert 제곱 또는 이중 EPW 십육차형과 동형인 4차원 다양체를 매개변수화함을 보인다.
• 격자 포함과 모듈러 성질을 이용하여 낮은 판별수 경우의 자기동형사상군을 특성화한다.
• 두 개의 부록을 활용하여 판별수 1 또는 2인 4차원 다양체의 이(regular) 및 비이(regular) 자기동형사상군을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주기 공간 내 어떤 Heegner 초평면이 K3 표면의 Hilbert 제곱 또는 이중 EPW 십육차형과 동형인 4차원 다양체를 매개변수화하는가?
• RQ2 주기 매핑의 상의 여집합은 20차원 모듈리 공간 내에서 어떻게 명시적으로 묘사될 수 있는가?
• RQ3 일반적인 Heegner 초평면 위의 점들이 K3 표면의 Hilbert 제곱과 동형인 4차원 다양체를 유도하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 판별수 1인 하이퍼카ähler 4차원 다양체의 이(regular) 자기동형사상군은 무엇인가?
• RQ5 판별수 1인 하이퍼카ähler 4차원 다양체의 비이(regular) 자기동형사상군은 무엇인가?

주요 결과

• 주기 매핑의 상의 여집합은 20차원 모듈리 공간 내에서 명시적으로 묘사된 Heegner 초평면들의 유한한 합집합이다.
• 주기 공간 내 무한히 많은 수의 Heegner 초평면이 K3 표면의 Hilbert 제곱과 동형인 4차원 다양체를 매개변수화한다.
• 주기 공간 내 무한히 많은 수의 Heegner 초평면이 이중 EPW 십육차형과 동형인 4차원 다양체를 매개변수화한다.
• 판별수 1인 하이퍼카ähler 4차원 다양체의 이(regular) 자기동형사상군은 자명하다.
• 판별수 2인 하이퍼카ähler 4차원 다양체의 이(regular) 자기동형사상군은 유한하며 명시적으로 결정된다.
• 판별수 1 또는 2인 4차원 다양체의 비이(regular) 자기동형사상군이 계산되었으며, 이는 Néron-Severi 격자에 연관된 구체적인 구조를 드러낸다.